Achar as soluções gerais das seguintes equações:

y'' - 4y' + 4y = 0

Passo 1

A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:

y ' '   -   4 y '   +   4 y   =   0 .

Vamos encontrar a solução geral para essa equação. Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada:

r 2 -   4 r   +   4   =   0

Essa é uma equação quadrática com uma raiz dupla.

Resolvendo-a, temos:

r   -   2 2 =   0

Isso nos dá uma raiz repetida: r = 2.

Passo 2

A solução geral para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e uma raiz repetida r é dada por:

y t =   C 1   +   C 2   *   t *   e r   *   t

onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas), r é a raiz repetida e t é a variável independente (tempo, no caso).

Nesse caso, com r = 2, a solução geral fica:

y t =   C 1   +   C 2   *   t *   e 2   *   t

Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Se você tiver condições iniciais específicas, poderá usar essas condições para determinar os valores de C1 e C2 e obter a solução particular correspondente.

Resposta

y t =   C 1   +   C 2   *   t *   e 2   *   t

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