USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Antonio de Pádua - Lista para a Terceira Prova, Questão 6
Achar as soluções gerais das seguintes equações:
Passo 1
A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
Vamos encontrar a solução geral para essa equação. Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada:
Essa é uma equação quadrática com uma raiz dupla.
Resolvendo-a, temos:
Isso nos dá uma raiz repetida: r = 2.
Passo 2
A solução geral para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e uma raiz repetida r é dada por:
onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas), r é a raiz repetida e t é a variável independente (tempo, no caso).
Nesse caso, com r = 2, a solução geral fica:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Se você tiver condições iniciais específicas, poderá usar essas condições para determinar os valores de C1 e C2 e obter a solução particular correspondente.