USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Antonio de Pádua - Lista para a Terceira Prova, Questão 7
Achar as soluções gerais das seguintes equações:
Passo 1
A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e uma parte não homogênea:
A solução geral para essa equação consiste em duas partes: a solução geral da equação homogênea correspondente e uma solução particular da equação não homogênea.
Vou orientá-lo a encontrar ambas as partes.
A equação homogênea associada é:
A equação característica correspondente é:
Resolvendo essa equação quadrática, obtemos:
As raízes são complexas conjugadas.
A solução geral para a equação homogênea é então:
Passo 2
Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos usar o método dos coeficientes a determinar (também conhecido como método da variação das constantes).
Vamos supor que a solução particular tem a forma:
Substituindo essa suposição na equação não homogênea original, temos:
Derivando A e B em relação a t, obtemos:
Substituindo essas derivadas na equação acima e igualando os coeficientes de , obtemos um sistema de equações diferenciais para A(t) e B(t).
Passo 3
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea:
Substituindo as expressões anteriores para você terá a solução geral completa da equação diferencial.
Vale lembrar que a solução particular da equação não homogênea pode ser complicada de calcular, dependendo dos detalhes do problema.