USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Antonio de Pádua - Lista para a Terceira Prova, Questão 9
Achar as soluções gerais das seguintes equações:
Passo 1
A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com uma parte não homogênea:
Vou mostrar como resolver essa equação usando o método da variação das constantes para encontrar uma solução particular.
A solução geral completa consistirá da solução da equação homogênea mais a solução particular da equação não homogênea.
Solução da Equação Homogênea:
A equação homogênea associada é:
A equação característica correspondente é:
Resolvendo essa equação, obtemos uma raiz dupla:
Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Passo 2
Solução Particular da Equação Não Homogênea:
Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, vamos usar o método da variação das constantes.
Suponha que a solução particular tenha a forma:
onde A(x) e B(x) são funções a serem determinadas.
Substituindo essa suposição na equação não homogênea original, obtemos:
Derivando A e B em relação a x, obtemos:
Substituindo essas derivadas na equação acima e igualando os coeficientes de e 1, podemos obter um sistema de equações diferenciais para A(x) e B(x).
Passo 3
Solução Geral:
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução geral da equação homogênea e a solução particular da equação não homogênea:
Lembre-se de que as funções A(x) e B(x) precisam ser determinadas a partir do sistema de equações que surge ao igualar os coeficientes.
Se você tiver condições iniciais específicas, poderá usar essas condições para determinar os valores de C1, C2, A(x) e B(x) e obter a solução particular correspondente.