Achar as soluções gerais das seguintes equações:

y'' - 2y' = x^2 + 1

Passo 1

A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com uma parte não homogênea:

y ' ' -   2 y ' =   x 2 +   1

Vou mostrar como resolver essa equação usando o método da variação das constantes para encontrar uma solução particular.

A solução geral completa consistirá da solução da equação homogênea mais a solução particular da equação não homogênea.

Solução da Equação Homogênea:

A equação homogênea associada é:

y ' '   -   2 y '   =   0 .

A equação característica correspondente é:

r 2 -   2 r   =   0

Resolvendo essa equação, obtemos uma raiz dupla:

r   =   0

Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:

y h x =   C 1   +   C 2   *   x

Passo 2

Solução Particular da Equação Não Homogênea:

Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, vamos usar o método da variação das constantes.

Suponha que a solução particular tenha a forma:

y p x =   A x +   B x *   x

onde A(x) e B(x) são funções a serem determinadas.

Substituindo essa suposição na equação não homogênea original, obtemos:

A ' ' +   B ' ' *   x   -   2   *   A ' +   B ' *   x =   x 2 +   1

Derivando A e B em relação a x, obtemos:

A ' = d A d x ,   B ' = d B d x

A ' ' = d 2 A d x 2 ,   B ' ' = d 2 B d x 2

Substituindo essas derivadas na equação acima e igualando os coeficientes de x 2 e 1, podemos obter um sistema de equações diferenciais para A(x) e B(x).

Passo 3

Solução Geral:

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução geral da equação homogênea e a solução particular da equação não homogênea:

y x =   y h x +   y p x

          =   C 1   +   C 2   *   x   +   A x +   B x *   x

Lembre-se de que as funções A(x) e B(x) precisam ser determinadas a partir do sistema de equações que surge ao igualar os coeficientes.

Se você tiver condições iniciais específicas, poderá usar essas condições para determinar os valores de C1, C2, A(x) e B(x) e obter a solução particular correspondente.

Resposta

y ( x )   =   C 1   +   C 2   *   x   +   A x +   B x *   x

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