USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Antonio de Pádua - Lista para a Terceira Prova, Questão 8
Achar as soluções gerais das seguintes equações:
Passo 1
A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com uma parte não homogênea:
Para resolver essa equação, podemos dividir o problema em duas partes: a solução da equação homogênea associada e a busca por uma solução particular da equação não homogênea.
Solução da Equação Homogênea:
A equação homogênea associada é:
A equação característica correspondente é:
Resolvendo essa equação, obtemos duas raízes complexas conjugadas:
A solução geral da equação homogênea é então:
Passo 2
Solução Particular da Equação Não Homogênea:
Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos usar o método dos coeficientes a determinar. Vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Porque já é solução da homogênea, então precisamos de alguma que seja linearmente independente mas que ainda se pareça com a parte lá do outro lado, a não homogeneidade
Derivando temos
E mais uma vez
Substituindo essa suposição na equação não homogênea original, temos:
Podemos simplificar e agrupar os termos semelhantes do lado esquerdo
Por igualdade de funções temos que
E
Passo 3
Solução Geral:
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Se você tiver condições iniciais específicas, poderá determinar os valores de C1 e C2 para obter a solução particular correspondente.