Achar as soluções gerais das seguintes equações:

y'' - y = tanh(x)

Passo 1

A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com uma parte não homogênea:

y ' '   -   y   =   t a n h ( x ) .

Para resolver essa equação, podemos usar o método da variação das constantes para encontrar uma solução particular.

A solução geral completa consistirá da solução da equação homogênea mais a solução particular da equação não homogênea.

Solução da Equação Homogênea:

A equação homogênea associada é:

y ' '   -   y   =   0 .

A equação característica correspondente é:

r 2 -   1   =   0

Resolvendo essa equação, obtemos duas raízes:

r   =   1   e   r   =   - 1 .

A solução geral da equação homogênea é então:

y h x =   C 1   *   e x +   C 2   *   e - x

Passo 2

Solução Particular da Equação Não Homogênea:

Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, vamos usar o método da variação das constantes.

Vamos supor que a solução particular tenha a forma:

y p x =   A x *   e x +   B x *   e - x

onde A(x) e B(x) são funções a serem determinadas.

Substituindo essa suposição na equação não homogênea original, obtemos:

A ' ' *   e x +   B ' ' *   e - x -   A   *   e x +   B   *   e - x = tanh ⁡ x

Derivando A e B em relação a x, obtemos:

A ' = d A d x ,   B ' = d B d x

A ' ' = d 2 A d x 2 ,   B ' ' = d 2 B d x 2

Substituindo essas derivadas na equação acima e igualando os coeficientes de t a n h ( x ) , podemos obter um sistema de equações diferenciais para A(x) e B(x).

Passo 3

Solução Geral:

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução geral da equação homogênea e a solução particular da equação não homogênea:

y x =   y h x +   y p x

  =   C 1   *   e x +   C 2   *   e - x +   A x *   e x +   B x *   e - x

Lembre-se de que as funções A(x) e B(x) precisam ser determinadas a partir do sistema de equações que surge ao igualar os coeficientes.

Se você tiver condições iniciais específicas, poderá usar essas condições para determinar os valores de C1, C2, A(x) e B(x) e obter a solução particular correspondente.

Resposta

y ( x ) =   C 1   *   e x +   C 2   *   e - x +   A x *   e x +   B x *   e - x

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