Considere um circuito RLC onde a força eletromotriz é , a resistência é , a indutância é e a capacitância é . Pela segunda Lei de Kirchoff, a carga no capacitor satisfaz
a) Determine a solução geral da homogênea.
b) Determine a solução geral da não homogênea.
c) A carga no circuito tende a zero quando cresce?
d) Determine a carga do capacitor se a carga inicial é e a corrente inicial é = 1.
Passo 1
Falaaa, pessoal! Como vocês estão?
Nessa questão, a gente tem uma equação diferencial, que na verdade é a Lei de Kirchoff:
E a gente vai ter que resolver essa equação e a sua homogênea.
Também vamos precisar calcular o limite de quando .
E o último item pede o valor de quando e .
Mas vamos um de cada vez!
Antes de qualquer coisa vamos lembrar que essa equação é não-homogênea. A homogênea tem o termo independente de igual a zero, ou seja, o lado direito da equação igual a zero:
Passo 2
Bora começar mais essa questão da lista. Começando pelo Item a), aA equação característica da homogênea é
Cujas raízes são e . As duas soluções são fundamentais são dadas por
e
Segue que a solução geral da homogênea é:
Passo 3
Para o item b), vamos encontrar a solução pra equação não homogênea.
pPelo método da variação dos parâmetros, a solução geral é dada por,
Onde,
Passo 4
Já no item c), queremos saber se a carga no circuito tende a zero a medida que aumenta?
Ccomo,
segue que a carga não tende a zero quando cresce, uma vez que o limite dela ao infinito não existe.