UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 10 - Função impulso unitário e convolução, Questão 2
Considere um sistema massa-mola sem amortecimento em repouso submetido a um impulso unitário no instante t = 0 e a outro impulso unitário no instante . A posição da massa neste sistema pode ser dada pela solução do PVI
Determine a função u(t) explicitamente e interprete o resultado obtido.
Passo 1
Olá meu amigo, tudo bem? Espero que sim pois agora iremos resolver umas queridas EDOs. Aqui o que iremos fazer é resolver essas EDOs por Laplace, pois é muito mais facil, rapido e prático. Pelo menos eu tenho essa impressão. O que iremos fazer aqui é passar tudo para o domínio da frequência, e após encontrarmos nossa solução é que iremos voltar para o domínio do tempo por meio da transformada inversa. Iremos utilizar bastante a tabela de Laplace então é bom que voce tenha uma dessas em mãos.
Chame de
E das propriedades de derivação das transformadas
E para
Agora precisamos encontrar a transformada para
Passo 2
Substituindo o que encontramos na EDO
Isolando
Agora o que devemos fazer é calcular a inversa de Laplace de
Passo 3
Iremos calcular a inversa por primeiro para a primeira equação
E para a segunda equação
Por conta de temo que , a função impulso unitário, multiplicará toda a transformada inversa e gerara um adiantamento de toda nossa função no domínio do tempo, o que nos sobra então é a inversa que já calculamos porem adiantada
E então