UnB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Fixação de C2 - MAT - Lista da Semana 10, Questão 1a
Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações:
(a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem. E quando temos uma EDO desse tipo, que tem a forma geral:
Nós vamos encontrar a solução geral resolvendo a equação auxiliar:
Assim, quando descobrimos as raízes e da equação auxiliar, encontramos a solução de acordo com as condições:
- Se tivermos duas raízes reais e distintas (), nossa solução terá a forma:
- Se tivermos duas raízes reais e iguais (), nossa solução é do tipo:
- E se temos raízes complexas (), nossa solução terá a forma:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar encontrando a equação auxiliar da nossa EDO:
Como , e , nossa equação auxiliar será:
Usando Bháskara para encontrar as raízes da equação, temos:
Logo, nossas raízes são:
Passo 3
Repare que nossas raízes são reais e distintas, então como vimos lá no passo , nossa solução tem a forma:
Substituindo e , temos:
Essa é a solução geral da nossa EDO.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉