EDO de 2ª Ordem Homogênea
Para um parâmetro real, considere a equação diferencial
Para quais valores do parâmetro a equação admite uma solução satisfazendo e ?
Passo 1
Bom, como se trata de uma equação de segunda ordem homogênea, para resolver ela temos que resolver a equação característica associada dada por
Vamos então separar nos casos em que e .
Passo 2
No caso , temos que
E portanto,
Para satisfazer as condições iniciais, fazemos
E
Dai temos
Passo 3
No caso , temos
Ou seja, duas raízes complexas, portanto
Aplicando as condições iniciais ficamos com
A segunda igualdade acima nos permite achar exceto para os pontos tal que
Portanto, para estes valores toda solução que satisfazer automaticamente satisfaz e não como queremos, logo não existe solução que satisfaça as condições do enunciado.
Passo 4
No caso , temos que , e portanto
E portanto,
Aplicando as condições iniciais ficamos com
E
E portanto:
E como e a função exponencial é uma função crescente temos que
Portanto o denominador é não nulo. Assim para todo existe uma solução satisfazendo as condições do enunciado.
Resposta
Existe solução satisfazendo as condições do enunciado exceto para da forma com .