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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

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Enunciado

UTFPR, Ponta Grossa, Equações Diferenciais Ordinárias, Listas EDO 2 Ordem e Ordem Superior - Segunda Lista de Exercícios, Questão 1f

Resolva as EDO de segunda ordem a seguir

y ' '   - 2 y ' + 5 y = 0 ;   y ( π / 2 ) = 0   e   y ' ( π / 2 ) = 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de segunda ordem. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema?

Vamos fazer uma revisão!!!!

Vamos supor que temos uma EDO de segunda ordem homogênea. Isso é, da seguinte forma:

a y ' ' + b y ' + c y + d = 0

A primeira coisa que fazemos é encontrar o polinômio característico e, depois, suas raízes.

O polinômio é super simples de construir, basta pegarmos os coeficientes da EDO homogênea e ir plugando as potências do polinômio. Na prática fica assim.

a x 2 + b x   + c = 0

Ou seja, as potências dos polinômios ficam com os coeficientes das derivadas de mesma ordem. Isto é, potência 2 com segunda derivada, e assim por diante.

Agora achamos as raízes. Mas como o polinômio característico é do segundo grau. Usamos Bhaskara. Sendo assim suponha que x 1 e x 2 são as raízes do polinômio característico.

Se x 1 ≠ x 2 , Então a solução geral da EDO homogênea é:

A e x 1 t + B e x 2 t

com A , B ∈ R

Se x 1 = x 2 , Então a solução geral da EDO homogênea é:

A e x 1 t + B x e x 1 t

com A , B ∈ R

Se x 1 , x 2 ∉   R , Então a solução geral da EDO homogênea é:

x 1   = v + i w

e v x ( A c o s ( w x ) + B s i n ( w x ) )

com A , B ∈ R

Deu para revisar? Show!!!!

Passo 2

Vamos resolver nossa EDO

y ' '   - 2 y ' + 5 y = 0 ;   y ( π / 2 ) = 0   e   y ' ( π / 2 ) = 2

Vamos calcular o polinômio característico da EDO homogênea associada.

y ' '   - 2 y ' + 5 y = 0

Pela nossa revisão ele é

1 r 2 - 2 r + 5

Vamos obter suas raízes

1 r 2 - 2 r + 5 = 0

Por Bhaskara, as raízes são

1 ± 2 i

Ou seja, temos duas raízes reais complexas. Então a nossa solução homogênea é da forma

x 1   = v + i w

e v x ( A c o s ( w x ) + B s i n ( w x ) )

com A , B ∈ R

Como nosso x 1 = 1 + 2 i , então a solução do sistema homogêneo é:

e x ( A c o s ( 2 x ) + B s i n ( 2 x ) )

Passo 3

Para finalizar, só precisamos resolver o problema de valor inicial

y ' '   - 2 y ' + 5 y = 0 ;   y ( π / 2 ) = 0   e   y ' ( π / 2 ) = 2

Bem, sabemos que a solução geral é:

e x ( A c o s ( 2 x ) + B s i n ( 2 x ) )

Então, y ( π / 2 ) é:

e π ( - A + 0 )

Como queremos que y ( π / 2 ) = 0 . Então

A = 0

E temos a segunda condição

y ' ( π ) = 2

Como

y ' ( x ) = e x ( - 2 A s i n ( 2 x ) + A c o s ( 2 x ) + B s i n ( 2 x ) + 2 B c o s ( 2 x ) )

Como A = 0

= e x ( B s i n ( 2 x ) + 2 B c o s ( 2 x ) )

Logo,

y ' ( π ) = e π / 2 ( - B )

Mas como

y ' ( π ) = 2

Então

B = - e - π / 2

Logo a solução do PVI é

- e x - π / 2 s i n ( 2 x )

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

- e x - π / 2 s i n ( 2 x )

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