Resolva as EDO´s homogêneas

y'' - 2y' - 2y = 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando com EDO homogênea de segunda ordem. Queremos resolver uma EDO da forma

a y ' '   +   b y '   + c y   =   0

Lembram como fazemos isso?

Primeiro, precisamos das raízes do polinômio característico da equação. Esse polinômio é dado por

a r 2 + b r + c

Agora vamos supor que as raízes do polinômio são r 1 e r 2 .

Então, a solução da equação homogênea é:

y ( t )   =   A e r 1 t + B e r 2 t

se r 1 ≠ r 2

y ( t )   =   A e r 1 t + B t e r 1 t

se r 1 = r 2

se r 1 = a + i b

r 2 = a - i b

então

y ( t )   =   e a t ( A c o s ( b t ) + B s i n ( b t ) )

com A , B ∈ R

Caso esteja curioso, Esses resultados surgem ao supormos que y ( t ) é da forma e r t

Vamos resolver nossa questão:

Passo 2

Construindo o polinômio característico da EDO

y ' '   - 2 y ' - 2 y   =   0

temos:

r 2 - 2 r - 2 = 0

Logo, usando Bhaskara temos que as raízes são

r 1 = 1 + 3

r 2 = 1 - 3

Pelo passo 1. A solução é da forma:

y ( t )   =   A e r 1 t + B e r 2 t

- =     A e ( 1 + 3 ) t + B e ( 1 + 3 ) t

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

    A e ( 1 + 3 ) t + B e ( 1 + 3 ) t

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