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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

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Enunciado

2cUFRJ, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - UFRJ - Lista de EDO Segunda Ordem, Questão 2c

Resolva as EDO´s homogêneas

y ' '   + 4 y =   0

y ( 0 ) = 0

y ' ( 0 ) = 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando com EDO homogênea de segunda ordem. com condições iniciais Queremos resolver uma EDO da forma

a y ' '   +   b y '   + c y   =   0

y ( z ) = Z

y ' ( w ) = W

Z , W   ∈ R

Lembram como fazemos isso?

Primeiro, precisamos das raízes do polinômio característico da equação. Esse polinômio é dado por

a r 2 + b r + c

Agora vamos supor que as raízes do polinômio são r 1 e r 2 .

Então, a solução da equação homogênea é:

y ( t )   =   A e r 1 t + B e r 2 t

se r 1 ≠ r 2

y ( t )   =   A e r 1 t + B t e r 1 t

se r 1 = r 2

se r 1 = a + i b

r 2 = a - i b

então

y ( t )   =   e a t ( A c o s ( b t ) + B s i n ( b t ) )

Caso esteja curioso, Esses resultados surgem ao supormos que y ( t ) é da forma e r t

Agora ques sabemos a solução da EDO homogênea, precisamos encontrar as constantes A   e   B . Como fazemos isso?

Ora, substituímos os valores de y ( z )   e   y ' ( w ) informados

Vamos resolver nossa questão:

Passo 2

Construindo o polinômio característico da EDO

y ' '   + 4 y =   0

y ( 0 ) = 0

y ' ( 0 ) = 1

temos:

r 2 + 4 = 0

Logo, usando Bhaskara obtemos as seguintes raízes

r 1 = 2 i

r 2 = - 2 i

Pelo passo 1. A solução é da forma:

y ( t )   =   e a t ( A c o s ( b t ) + B s i n ( b t ) )

y ( t )   = ( A c o s ( 2 t ) + B s i n ( 2 t ) )

Passo 3

Agora que sabemos que

y ( t )   = ( A c o s ( 2 t ) + B s i n ( 2 t ) )

Vamos usar as informações que

y ( 0 ) = 0

y ' ( 0 ) = 1

Para descobrirmos as constantes. Da primeira condição, temos que

y ( 0 )   = A = 0

Da segunda que

y ' ( t ) = 2 B c o s ( t )

⇒ y ' ( 0 ) = 2 B = 1

⇒ B = 1 / 2

Logo:

A = 0

B = 1 / 2

Ou seja, nossa solução é:

y ( t ) =   s i n ( 2 t ) / 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

  s i n ( 2 t ) / 2

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