MHA
Uma bola de Natal ( esfera oca) de massa e raio é pendurada em um ramo de árvore por um pequeno fio(comprimento desprezível) preso à superfície da esfera(vide figura) e oscila sob a ação da gravidade.
- Escreva a equação diferencial do movimento para o ângulo que o eixo da bola de Natal faz com a vertical( Vide figura abaixo).
- Se a bola é deslocada por um ângulo pequeno ( e solto a seguir, calcule a frequência natural de oscilação do sistema.
- Calcule o fator de qualidade do sistema em termos dos dados do problema.
- Calcule, em função dos outros dados do problema, o raio máximo da bola para que o regime de amortecimento seja subcrítico.
Considere agora que o atrito do ar gere um torque proporcional à velocidade angular e a área da bola: onde é uma constante ( considere e despreze outros tipos de atrito). Nesse caso:
Dado: Momento de inércia da esfera em relação ao eixo do fio:
Passo 1
a):
Bom, a variação do momento angular vai ser igual ao torque causado pela força externa, no caso, a força gravitacional( Você deve ter visto isso no seu curso de mecânica (:!). Então:
Só que
Bom, o torque da força peso pode ser calculado se a gente decompor a força peso na direção perpendicular ao eixo da bola. Isso é:
Logo:
Show de boleba!Substituindo o valor de
Passo 2
b):
Para , :
Mas esse é um modelo de MHS. Logo, o termo que multiplica o fator de primeira ordem, é a frequência angular ao quadrado:
Passo 3
c):
Parar o caso onde há atrito, a variação de momento linear se dá por:
Isso é:
A equação acima é equivalente à equação:
A partir dessa equação, podemos reconhecer o fator de amortecimento pois ele é o termo que acompanha o :
Bom, mas o fator de qualidade é definido por:
Sendo
Passo 4
d):
O regime subcrítico ocorre quando ou mesmo . Então a gente pode montar a inequação:
Logo:
Resposta
a):
b):
c):
d):