Um oscilador harmônico amortecido unidimensional é formado por uma massa m = 1 k g , uma mola de constante elástica k = 25   N / m   , e um amortecedor com constante de amortecimento ρ = 10   k g / s   . No instante t = 0 a massa está localizada em x = 0,1 m e possui velocidade v = - 1 m / s . Qual gráfico melhor representa a massa em função do tempo?

  1. V
  2. III
  3. IV
  4. II
  5. I

Passo 1

O regime de amortecimento aqui é o crítico, já que γ 2 = ρ 2 m = 5 / s . A solução geral para a posição do oscilador é

x t = a + b t e γ t 2

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v t = x ˙ t = b e γ t 2 - γ 2 x t

Passo 2

Aplicando as condições iniciais

x 0 = 1 10 m = a

x ˙ 0 = - 1 = b - 1 2       → b = - 1 2 m / s

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x t = 1 10 ( 1 - 5 t ) e 5 t 2 e x ˙ t = ( - 1 + 5 2 t ) e 5 t 2

o que mostra que o gráfico que melhor representa a posição x ( t ) é o IV, já que o oscilador parte da posição x(0)=0,1 em t=0 se movendo na direção de x decrescente , passando pela origem em t=1/5 e atinge o repouso em t=2/5s, quando inverte seu movimento.

Resposta

Letra c

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