USP – Física 2 – 2019 – P2 – Exercício 6
Uma mola de massa desprezível, comprimento e constante se encontra presa ao teto. Na sua extremidade livre é pendurado um bloco de massa . O sistema é abandonada em um meio viscoso cujo coeficiente de atrito viscoso é , sob a ação da força peso (), da força da mola e da força viscosa (). A função que descreve a posição do bloco no tempo, , deste distema será escrita como:
onde é a solução particular (ou estacionária) da equação não-homogênea e é a solução da equação diferencial homogênea. Adotando o eixo como está indicado na figura, resolva as questões Q5, Q6, Q7 e Q8.
Q6) Determine a solução particular da equação diferencial não-homogênea.
Passo 1
Antes de qualquer coisa, é importante saber que essa questão é continuação da questão 5 da P2 de 2019! Na questão 5, obtivemos que a equação diferencial do problema é
Substituindo os valores numéricos, encontramos:
Nosso objetivo nessa questão é achar uma solução particular da equação não-homogênea. Vamos ver como fazer isso!
Passo 2
Queremos achar uma solução particular dessa equação:
Note que nela aparece a própria função () e algumas de suas derivadas. Vamos tentar uma solução do tipo constante:
Assim,
Substituindo na equação, obtemos
Assim,
Portanto, a solução particular da equação não-homogênea é
Passo 3
Observe que o “chute” dá certo pois as derivadas se anulam e a equação fica extremamente simples. Existem outros “chutes” que você pode fazer, mas esse é definitivamente o mais simples para esse problema! É importante ressaltar que outras soluções até podem ser encontradas, mas els estarão, de alguma forma ligada à solução da equação homogênea.