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Exercícios Resolvidos de Movimento Harmônico Amortecido

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Enunciado

Um pêndulo de torção de massa M = 5, 0 kg, imerso em um meio viscoso, oscila em torno do seu ponto de equilíbrio obedecendo a seguinte equação de movimento:

I θ ¨ = - b θ ˙ - k θ

Onde: I = 3   k g . m 2 , k = 2   N . m e b = 3 2   N . m . s

A equação de movimento que satisfaz as condições iniciais:

θ 0 = 0   r a d

θ ˙ 0 = 1   r a d / s

É dada por:

(a) θ t = 6 e - t 2 sin ⁡ t 6   r a d

(b) θ t = 6 e - t 2 cos ⁡ t 6   r a d

(c) θ t = e - t 2 sin ⁡ 2 / 3 t   r a d

(d) θ t = 6 e - t 2 sin ⁡ 2 / 3 t   r a d

(e) θ t = 6 e - t 2 cos ⁡ 2 / 3 t   r a d

Passo 1

Então, primeiro vamos usar esses dados que ele deu.

ω 0 = k I

ω 0 = 2 3   r a d / s

γ = b I

γ = 3 2 3

γ = 2   s - 1

ω 2 = ω 0 2 - γ 2 4

ω 2 = 2 3 2 - 2 2 4

ω 2 = 2 3 - 2 4 = 1 6

ω = 1 6   r a d / s

Show! Agora vamos ver o tipo de amortecimento.

∆ = γ 2 - 4 ω 0 2

∆ = 2 2 - 4 2 3 2

∆ = 2 - 4 × 2 3

∆ = - 2 3 < 0

Como ∆ < 0 teremos amortecimento subcrítico!

Passo 2

A solução do amortecimento subcrítico é:

θ t = A e - γ t 2 cos ⁡ ω t + φ

Vamos substituir o que já temos:

θ t = A e - 2 t 2 cos ⁡ t / 6 + φ

E aí ele deu duas condições iniciais pra gente.

Primeiro, θ 0 = 0 .

Então:

θ 0 = A cos ⁡ φ = 0

cos ⁡ φ = 0

φ = ±   π / 2

A segunda condição foi θ ˙ 0 = 1 . Vamos derivar!

θ ˙ t = - 2 2 A e - 2 t 2 cos ⁡ t / 6 + φ - A 6 e - 2 t 2 sin ⁡ t / 6 + φ

θ ˙ 0 = - A 6 sin ⁡ φ = 1

Como A é positivo, sin ⁡ φ deve ser negativo. Ficamos então com φ = -   π / 2 . Então:

- A 6 sin ⁡ - π 2 = 1

A 6 = 1

A = 6   r a d

Passo 3

Substituindo:

θ t = 6 e - 2 t 2 cos ⁡ t 6 - π 2

E como:

cos ⁡ t 6 - π 2 = cos ⁡ t 6 cos ⁡ π 2 + sin ⁡ t 6 sin ⁡ π 2

cos ⁡ t 6 - π 2 = sin ⁡ t 6

θ t = 6 e - 2 t 2 sin ⁡ t 6

Lembrando que:

2 2 = 1 2

θ t = 6 e - t 2 sin ⁡ t 6

Resposta então vai será letra A.

Resposta

Letra A.

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