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Exercícios Resolvidos de Movimento Harmônico Amortecido

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Enunciado

UFRJ – Física 2 2019.2 – Segunda Chamada (ME) – Questão 2

A energia média de um oscilador levemente amortecido cai à metade em 10   s . Sua energia média após 30   s terá se reduzido pelo fator:

(a) 1 / 8

(b) 1 / 3

(c) 1 / 2

(d) 3 l n 2

(e) 1 / 4

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Primeiro vamos lembrar como é a energia média em um oscilador levemente amortecido:

E = E 0 e - γ t

Ela parte de um valor inicial E 0 e vai caindo exponencialmente com um fator γ , certo?

O enunciado nos diz que a energia desse oscilador cai à metade quando se passa 10 s , e nos pergunta por qual fator a energia vai estar quando tiver se passado 30 s . Então a ideia aqui é a seguinte: com a informação dada, vamos achar o fator γ . E depois, com ele em mãos, vamos podemos calcular a energia depois de passado u tempo de 30 s . Vamos começar?

Passo 2

Em 10 s a energia caiu à metade da inicial, então temos t = 10 e E = 1 2 E 0 :

E = E 0 e - γ t

1 2 E 0 = E 0 e - γ . 10

1 2 = e - 10 γ

Agora vamos aplicar a definição de logaritmo:

ln ⁡ 1 2 = - 10 γ

ln ⁡ 2 - 1 = - 10 γ

- ln ⁡ 2 = - 10 γ

γ = ln ⁡ 2 10

Ótimo! Encontramos o fator com que esse oscilador cai à energia. Agora vamos a segunda parte: calcular a energia depois de t = 30 s .

Passo 3

Agora temos que γ = ln ⁡ 2 10 e t = 30 , colocando esses valores na fórmula pra energia média vamos ter o seguinte:

E = E 0 e γ t

E = E 0 e - ln ⁡ 2 10 . 30

E = E 0 e - 3 ln ⁡ 2

Agora vou brincar um pouco com a exponencial e o logaritmo: lembrando que todo número multiplicando um logaritmo pode passar como expoente do logaritmando:

E = E 0 e - ln ⁡ 2 3

E agora sabendo que todo expoente negativo, quando a gente troca de andar, ele troca de sinal, vou deixar esse e bem mais simpático:

E = E 0 e ln ⁡ 8

Sacou a jogada? 2 3 = 8 ! E agora sabendo que b log b ⁡ a = a , essa energia fica ainda mais simpática:

E = E 0 8

Então temos que após 30 s a energia fica reduzida a um fator de 1 / 8 da sua energia inicial. Alternativa (a).

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

A l t e r n a t i v a   ( a )

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