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Exercícios Resolvidos de Movimento Harmônico Amortecido

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Enunciado

Um oscilador composto por uma mola de massa desprezível com constante k e por um bloco de massa m, está sujeito à ação de uma força de amortecimento F a = - ρ x ˙ . Considere que o sistema massa-mola se encontra no regime de amortecimento crítico.

a) Determine o coeficiente de resistência viscosa ρ . Forneça a resposta em função de k e m.

(b) Sabendo que as condições iniciais são tais que x t = 0 = x 0 e x ˙ ( t = 0 ) = 0 , determine a posição do sistema massa-mola em função do tempo. Expresse o resultado em termos de k e m.

(c) Se a massa do bloco dobrar (M = 2m) qual será o regime de oscilação?

(d) Sabendo que as condições iniciais são tais que x t = 0 = 0 e x ˙ t = 0 = - 0,5   m s - 1 , determine a posição do sistema massa-mola em função do tempo. Expresse o resultado em termos de k e m.

Passo 1

Primeira coisa, vamos montar a equação diferencial desse movimento. Força elástica, força de amortecimento, segunda lei de Newton:

- k x - ρ x ˙ = m x ¨

Dividindo tudo por m e passando pro mesmo lado:

x ¨ + ρ m x ˙ + k m x = 0

Definindo γ = ρ / m e ω 0 2 = k / m , temos então:

x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = 0

Que tem equação característica

p 2 + γ p + ω 0 2 = 0

Como o sistema está no regime crítico, então Δ = 0 .

Δ = γ 2 - 4 ω 0 2 = 0

Passo 2

a) Queremos ρ em função de k e m.

Pela equação do regime crítico, temos que

γ 2 - 4 ω 0 2 = 0

γ = 2 ω 0

Como γ = ρ / m e ω 0 2 = k / m :

ρ m = 2 k m  

ρ = 2 k m

Passo 3

b) Determinar x ( t ) , sabendo que x t = 0 = x 0 e x ˙ ( t = 0 ) = 0 .

Se quisermos resolver a equação característica, teremos:

p = - γ 2

O que nos dá uma solução para a EDO:

x t = A + B t e - γ t / 2

Onde A e B são constante a serem determinadas pelas condições iniciais.

x 0 = x 0

x 0 = A = x 0

A velocidade da massa será

v t = d d t x t = A d d t [ e - γ t / 2 ] + B d d t t e - γ t 2

v t = - γ 2 A e - γ t 2 + B e - γ t 2 - γ 2 B t e - γ t 2  

v 0 = - γ 2 A + B = 0

B = x 0 γ 2

Como γ = ρ / m e ρ = 2 k m

B = x 0 ρ 2 m = x 0 2 k m 2 m = x 0 k m  

Juntando tudo:

x t = x 0 + x 0 k m e - γ t / 2

x t = x 0 1 + k m e - k m t

Passo 4

c) E se a massa dobrar? ( M = 2 m )

O coeficiente de amortecimento novo ( γ 2 ) será:

γ 2 = ρ M = ρ 2 m = γ 2

A frequência natural de oscilação nova ( ω 0,2 )

ω 0,2 = k M = k 2 m = ω 0 2

O novo delta será

Δ 2 = γ 2 2 - 4 ω 0,2 2

Δ 2 = γ 2 - 4 ω 0 2

Como γ = 2 ω 0 , então

Δ 2 = ω 0 - 4 ω 0 2 = 2 - 4 2 ω 0 < 0

Δ 2 < 0 , amortecimento subcrítico!

Passo 5

d) Determinar x ( t ) , sabendo que x t = 0 = 0 e x ˙ t = 0 = - 0,5   m s - 1 .

Aqui tem uma ambuguidade de interpretação! Você pode ententer que tem que aplicar isso na questão do enunciado, regime crítico ou entender que tem que aplicar como na letra (c), que acabos de ver que é sub-crítico.

Ambas as respostas foram aceitas nessa questão. Vou te mostrar as duas, mas você só precisava responder uma delas.

Para o regime crítico, já vimos que:

x t = A + B t e - γ t / 2

Então,

v t = d d t x ( t ) = - γ 2 A e - γ t 2 + B e - γ t 2 - γ 2 B t e - γ t 2

Aplicando x t = 0 = 0 :

A = 0

Aplicando x ˙ t = 0 = - 0,5   m s - 1 .

- γ 2 A + B = - 0,5

B = - 0,5

Então,

x t = - 0,5   t e - γ t / 2

Como no regime crítico, γ = 2 ω 0 , podemos escrever:

x t = - t 2 e - k m   t

Passo 6

Se você entendeu que deveria aplicar no regime sub-crítico da letra (c), então, temos a seguinte solução:

x t = A e - γ 2 t / 2 c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

A velocidade será, então,

v t = x ˙ t = - γ 2 2 cos ⁡ ω t + ϕ e - γ 2 t 2 - ω A s e n ( ω t + ϕ ) e - γ 2 t 2

Aplicando as condições iniciais:

x t = 0 = 0

A c o s ϕ = 0

ϕ = ± π 2

Na velocidade,

x ˙ t = 0 = - 0,5   m s - 1

- γ 2 2 cos ⁡ ϕ - ω A s e n ϕ = - 0,5

s e n ϕ = 0,5 ω A > 0

Então,

ϕ = π 2

A = 1 2 ω

Onde, para o regime sub-crítico,

ω 2 = ω 0,2 2 - γ 2 2 4

E, também, vimos que

ω = 1 2 k m

Então,

A = 1 2 ω = 1 2 1 2 k m = m k

Juntando todas essas informações, chegamos em:

x t = A e - γ 2 t / 2 c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

x t = k m e - 1 2 k m   t   cos ⁡ 1 2 k m t + π 2

Resposta

a) ρ = 2 k m

b) x t = x 0 1 + k m e - k m t

c) Amortecimento sub-crítico.

d) Se você considerou regime crítico, x t = - t 2 e - k m   t . Se você considerou regime sub-crítico, x t = k m e - 1 2 k m   t   cos ⁡ 1 2 k m t + π 2 . Ambas as respostas foram aceitas.

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