Dada uma massa m apoiada sobre um pistão pneumático com um amortecimento r, queremos ajustar a constante de mola k atuando sobre o sistema de forma que, diante de uma perturbação externa, ele tenha um retorno no menor tempo possível.
A equação de movimento do corpo na ausência de forças externas é dada por:
a) Qual o valor de k que faz o sistema voltar ao equillíbrio no menor tempo possível? Neste caso, qual a forma geral da solução da equação diferencial acima? Justifique sua resposta.
b) Se em t = 0 o corpo, inicialmente em equilíbrio, recebe uma pancada, transferindo um impulso vertical p, qual a função y(t) que representa a evolução da posição do corpo?
c) Se uma vibração externa é aplicada com frequência Ω, e uma força , qual a expressão da amplitude de oscilação A(Ω)? Para que valor de Ω a amplitude de oscilação é máxima?
Passo 1
a) Para o sistema voltar ao equilíbrio o mais rápido possível, devemos ter regime de amortecimento crítico. Nesse regime:
Então:
Mas:
Então:
Passo 2
b) No regime crítico, a solução é do tipo:
Temos duas condições iniciais aí.
A primeira, é que . Então:
A segunda é sobre o impulso. O impulso que esse cara recebe é todo transformado em quantidade de movimento. Então podemos dizer:
Então:
E vai ser:
Então vai ser:
Passo 3
c) A amplitude de oscilação é:
E como sabemos que , podemos trocar!
Beleza! Olhando pra essa fórmula aí o que a gente consegue enxergar?
A gente consegue enxergar que pra amplitude ser máxima, o denominador deve ser mínimo!
Como o denominador é , pra esse cara ser mínimo devemos ter:
Resposta
a)
b)
c) ,