USP – Física 2 – 2019 – P2 – Exercício 1
Osciladores harmônicos amortecidos costumam ser modelados pela equação diferencial
Uma maneira de encontrar as soluções desta equação diferencial é assumir a função tentativa como solução e encontrar quais valores de que realmente a tornam solução da equação diferencial (1). Fazendo a substituição de em (1), vemos que os valores de que tornam a função tentativa solução de (1) são:
Os valores de levam a três soluções distintas, as quais são classificadas conforme o radicando presnete em e seja maior, igual ou menor que zero. Com base nestas informações, escolha a alternativa correta:
a) Todas as três soluções da equação diferencial (1) referentes aos radicandos maior, menor ou igual a zero modelam oscilações, porque toda exponencial de um número real real pode ser expressa em termos de funções periódicas, como senos e cossenos.
b) Na situação onde assume valores complexos, só a parte real de tem siginificado físico.
c) O caso onde corresponde ao único caso onde ocorrem oscilações porque podemos expressar como uma função periódica.
d) Se a frequência natural do sistema for muito maior que o fator dissipativo , a amplitude de oscilação vai aumentando conforme o tempo passa.
e) Quando , o oscilador retorna muito mais rapidamente para a posição de equilíbrio do que quando .
Passo 1
Fala pessoal, prontos para mais uma questão de MHA?
Essa é uma questão bem interessante pois discute de forma bem geral os três regimes possíveis para um oscilador harmônico amortecido. Vou aproveitar então para fazer uma discussão mais geral sobre o problema e daí vamos olhar para as alternativas, pode ser?
O enunciado apresentou a equação do MHA:
e tentou achar soluções do tipo , caindo na equação algébrica
Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos
A grande questão aqui é se e são reais ou complexos!
Passo 2
O primeiro caso possível é se o termo dentro da raiz for positivo, isto é, se . Nessa situação, e são reais e distintos e a solução do problema é
onde
Esse é o chamado amortecimento supercrítico!
Passo 3
O segundo caso possível é se o termo dentro da raiz for nulo, isto é, . Assim,
Neste caso, a solução é
Esse regime é chamado de amortecimento crítico. Tanto no amortecimento crítico como no supercrítico, as soluções são exponenciais decrescentes que não oscilam, já que e são reais!
Passo 4
No terceiro caso (que é o mais interessante), o termo dentro da raiz é negativo: . Com isso, e são números complexos do tipo
onde
Nesse caso, a solução do problema é
Esse é o regime subcrítico: o único em que ocorre uma oscilação, mas com uma amplitude que decai exponencialmente! A oscilação aparece pois a exponencial de um número imaginário envolve funções periódicas. Para ver isso, basta lembrar da fórmula de Euler:
Aqui eu passei bem por cima das etapas para fazer toda essa discussão, mas isso é feito em detalhe na teoria apresentada aqui no site, se tiver qualquer dúvida vai lá olhar para entender direitinho!
Passo 5
Agora que fizemos toda essa discussão, podemos olhar para as alternativas!
A afirmativa A está errada pois diz que em todos os regimes aparecem oscilações, o que é falso: apenas no caso subcrítico elas aparecem!
A afirmativa B também está errada pois diz que a parte imaginária não tem significa físico, o que é um absurdo, ela que é responsável pela oscilação!
Já a afirmativa C é perfeita: o único caso em que aparecem oscilações é pois e são complexos!
A afirmativa D fala um absurdo sobre a amplitude aumentar, o que violaria a conservação da energia e a afirmativa E fala um negocinho mais específico mas que também está incorreto: no caso supercrítico o oscilador demora um pouco mais para “parar” que no caso crítico.
De qualquer forma, a alternativa C é muito perfeitinha e essa afirmativa E não deve te confundir. Resposta: alternativa C 😊
Resposta
Alternativa C.