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Exercícios Resolvidos de Movimento Harmônico Amortecido

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Enunciado

Um corpo é pendurado de uma mola, colocado em vibração vertical e imerso em um béquer com óleo. Suponha que o corpo tenha massa m = 375 g , que a mola tenha constante de força k = 100 N / m e b = 0,100 N . s / m .

  1. Quanto tempo leva pra amplitude cair pra metade de seu valor inicial?
  2. Quanto tempo leva pra energia mecânica cair pra metade de seu valor inicial?
  3. Demonstre que, de maneira geral, a taxa à qual a amplitude diminui em um oscilador harmônico amortecido é metade da taxa à qual a energia mecânica diminui.

Passo 1

a)

Bom, galera, essa questão trata de um MHA. Pra saber em que regime estamos temos que calcular aquele nosso amigo Δ . Pelo enunciado temos

γ = c m = 0,1 0,375 = 0,27   N s / K g m

ω 0 2 = k m = 100 0,375 = 266 , 7   r a d / s

Assim

Δ = γ 2 - 4 ω 0 2 = - 106 6 , 7

Como Δ < 0 , estamos no regime sub-crítico!

Como sabemos a expressão pra oscilação de um MHA nesse regime é:

x t = A e - γ 2 t cos ⁡ ω t + φ

Onde γ = b m

Beleza, mas nesse primeiro item, a gente só quer saber qual o tempo que é preciso pra que a amplitude caia à metade de seu valor inicial. Então vamos esquecer a parte do cosseno e escrever:

A e - γ 2 t = A 2

∴

e - γ 2 t = 1 2

∴

- γ 2 t = ln ⁡ 1 2

∴

γ 2 t = ln ⁡ 2

Usando γ = b m :

t = 2 m b ln ⁡ 2

Substituindo os valores do enunciado:

t = 2.0,375 0,100 ln ⁡ 2 = 5,2 s

Passo 2

b)

Sendo a energia mecânica dada por:

E M = k A 2 2

A sua metade vale:

E M ' = k A 2 4 = k A 2 2 . 1 2

Mas a gente pode escrever esse nova energia mecânica em função de uma nova amplitude A ' :

E M ' = k A ' 2 2 = k A 2 4   → A ' 2 = A 2 2   → A ' = A 2

Logo, fazendo parecido com o item anterior:

A e - γ 2 t = A 2

∴

e - γ 2 t = 1 2

∴

- γ 2 t = ln ⁡ 1 2

∴

γ t 2 = ln ⁡ 2 1 2

∴

γ t 2 = 1 2 . ln ⁡ 2

∴

γ t = ln ⁡ 2   → t = m l n 2 b

Substituindo os valores:

t = 0,375 . ln ⁡ 2 0,100 = 2,6 s

Passo 3

c)

Vamos calcular a derivada de energia mecânica dividida pela energia mecânica:

d E d t = 1 2 k A 2 ' = 1 2 . k 2 A . d A d t

Beleza, mas pra que façamos uma comparação melhor, devemos normalizar isso dai. O que isso quer dizer? Que devemos calcular uma taxa relativa. Assim, vamos dividir os dois lados por E :

E = k A 2 2

∴

d E d t E = 1 2 . k 2 A . d A d t k A 2 2 = d A d t A

Viu? Assim conseguimos isolar o d A d t :

d E d t E = 2 d A d t A

∴

d A d t A = 1 2 d E d t E

Ou seja, como o lado direito possui a derivada da amplitude em relação, a gente conseguiu provar o que era preciso.

Resposta

a) t = 5,2 s

b)   t = 2,6 s

c) Demonstração

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