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Exercícios Resolvidos de Movimento Harmônico Amortecido

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Enunciado

Após 6 oscilações, a amplitude de um sistema oscilatório decresce em 10%. Este sistema é formado por uma mola de constante elástica 4500 N/m e um bloco de 90 kg e oscila sobre uma superfície horizontal. O sistema está sujeito à uma força de resistência proporcional à velocidade do bloco. O período de oscilação e a razão entre as energias médias (por ciclo) final e inicial deste sistema, após estas 6 oscilações serão, respectivamente:

  1. 1 50   s e 1 / 0,45
  2. 10   s e 0,45
  3. 2 π 4 50 s e 1 / 0,81
  4. 2 π 50 s e 0,81
  5. 2 π 4 50 s e 0,81

Passo 1

O sistema oscila e a amplitude diminui: temos um movimento harmônico amortecido (MHA)!

Mas existem 3 casos diferente: supercrítico, crítico e subcrítico.

O único caso em que, apesar do amortecimento, o sistema continua oscilando é o subcrítico: uma oscilação que decai exponencialmente. Que é descrito por

x t = A   e - γ t / 2 c o s ( ω t + ϕ )

Onde

ω = ω 0 2 - γ 4

O pulo do gato dessa questão está no fato que após 3 oscilações, a amplitude caiu apenas 10%. Ou seja, o amortecimento é muito fraco γ ~ 0 . Podemos aproximar, então

ω ≅ ω 0

Onde, para um sistema massa-mola, a frequência natual de oscilação

ω 0 = k m

Passo 2

Como queremos saber o período (T), basta lembrar que

T = 2 π ω ≅ 2 π m k

T = 2 π 90 4500

T = 2 π 50   s

Só com isso já dá pra matar a questão! :)

Mas vamos calcular as energias só pra garantir.

Passo 3

Queremos a energia cinética média por ciclo.

E - = 1 2 k x 2 - + 1 2 m v 2 -

Como x t = A   e - γ t / 2 c o s ( ω t + ϕ )

x 2 t = A 2 e - γ t cos 2 ⁡ ( ω t + ϕ )

v = d d t x t = - γ 2 A e - γ t / 2 cos ⁡ ω t + ϕ - ω A e - γ t / 2 s e n ( ω t + ϕ )

Como γ ~ 0 , podemos desprezar o primeiro termo.

v 2 ≅ ω 2 A 2 e - γ t s e n 2 ( ω t + ϕ )

Juntando tudo:

E = 1 2 k A 2 e - γ t cos 2 ⁡ ( ω t + ϕ ) + 1 2 m ω 2 A 2 e - γ t s e n 2 ( ω t + ϕ )

Para calcular a média temporal por ciclo, vale lembrar que tanto o seno ao quadrado quando o cosseno ao quadrado variam entre 0 e 1, então, na média:

s e n 2 ω t + ϕ - = cos 2 ⁡ ( ω t + ϕ ) - = 1 2

E - = 1 4 k A 2 e - γ t + 1 4 m ω 2 A 2 e - γ t

Como ω 2 = k / m ,

E - = 1 2 m ω 2 A 2 e - γ t

Passo 4

Queremos a razão:

E - 6 T E - ( 0 ) = 1 2 m ω 2 A 2 e - 6 T γ 1 2 m ω 2 A 2 e 0 = e - 6 T γ

Já calculamos o período (T), falta calcular a constante de amortecimento ( γ ).

Usando o fato de que após 6 oscilações ( t = 6 T ) a amplitude descresce 10%. Como a amplitude ( x ( t ) sem a parte oscilatória):

A t = A   e - γ t / 2

Então,

A 6 T = 0,9   A

A e - γ 6 T / 2 = 0,9   A

e - 3 T γ = 0,9

Se elevamos ao quadrado dos dois lados,

e - 6 T γ = 0,9 2 = 0,81

Então,

E - 6 T E - ( 0 ) = e - 6 T γ = 0,81

Resposta

(d) 2 π / 50   s e 0,81

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