Um pêndulo simples, em seu laboratório de física, é composto por um fio de comprimento e uma bolinha (pontual) de massa presa à sua ponta. Para iniciar o balanço da bolinha, você coloca um ventilador próximo à ela, soprando uma corrente horizontal de ar de velocidade escalar , resultando em uma força (como mostrado abaixo). Enquanto o ventilador está ligado, o sistema fica em equilíbrio, com um ângulo com a vertical, com .

Obtenha o módulo do vetor para valores gerais de , em termos do ângulo , de e de .

Você desliga o ventilador e deixa que o pêndulo oscile. Supondo que a força de arrasto do ar seja da forma , sendo uma constante e a velocidade da bolinha, deduza a equação diferencial exata que descreve o deslocamento angular do pêndulo para , justificando de forma sucinta os termos usados na equação.

Considere o regime de pequenas oscilações, onde. Dadas as condições iniciais do problema, obtenha a função exata para .

Determine a constante de decaimento deste pêndulo.

Quanto tempo levará para a amplitude de oscilação do pêndulo chegar a um valor ?

Nota: dê suas respostas em termos dos parâmetros do problema:

Quando tirarmos o ventilador o pendulo sairá do repouso, onde formava um ângulo com a vertical, e entrará em um movimento oscilatório, porém mesmo em movimento as forças e continuaram agindo no pendulo, sendo assim vamos adotar a origem do eixo cartesiano no teto com o fio.

Começando pela equação da posição, temos que

Agora, vamos escrever as equações do movimento nas coordenadas e , pois temos que

Assim, temos que

Ainda, podemos escrever a equação da velocidade do movimento, pois temos que

Sabemos que o ângulo está variando com o tempo, assim derivando a equação da posição temos

Escrevendo em coordenadas polares temos

E do mesmo jeito que fizemos faremos para descobrir a equação da aceleração

Lembrando da regra da cadeia de derivadas, temos que

Temos que a derivada do vetor é dada por:

Assim a equação da aceleração é

Bem, agora que descobrirmos a equação da aceleração, podemos relaciona-la com as forças no problema, certo?

Pela segunda lei de Newton, temos que , vamos usar essa lei!

As forças que temos são ( que esta na direção radial), (que é função da velocidade, que já encontramos) e (que está na direção , e por isso vamos decompor em e )

Nossas forças são:

Como a tensão só tem componente na direção de e não sabemos o valor de , então vamos usar apenas a componente para descobrirmos a equação do movimento.

Assim, em temos

Reescrevendo essa equação temos

Podemos dividir ambos os lados por

Assim, chamamos de

E então chegamos em

Para o regime de pequenas oscilações temos que . Assim a equação pode ser reescrita como:

Encontramos a equação diferencial que representa um movimento harmônico amortecido, e sabemos que a força de arrasto tende a parar o movimento do pendulo, mas ela é uma força muito pequena ( tanto que geralmente desprezamos essa força), assim, temos o nosso sistema em amortecimento subcrítico. Ele irá oscilar muito antes de parar definitivamente, certo?

Então sabemos que a nossa solução será do tipo:

Temos que , então falta apenas determinamos a amplitude e a fase do movimento. Para isso vamos usar os dados de contorno do sistema.

Pela primeira situação de contorno temos:

A segunda condição de contorno, nos fornece que

Temos que

Como vimos que a força de arrasto é muito pequena temos que é pequeno o suficiente para consideramos que

Assim,

Substituindo o valor de , Bem novamente para simplificar vamos usar o fato de ser muito menor que , assim

Chegamos em

Agora se voltarmos na equação que tínhamos encontrado

E substituirmos esse valor de seno, encontraremos

Assim

Voltando na outra condição de contorno

Descobrimos que

Assim,

Pois, temos que

Como

e

a constante de decaimento é dada por

Porém não conhecemos a constante , para isso, vamos analisar o instante antes em que com o ventilador ligado o pendulo entrou em repouso.

Pois nesse momento temos , pois o pendulo entrou em repouso, e para isso alguma força teve que anular a força do vento e foi o arrasto. Assim

Já calculamos o valor da força do vento no passo 1, então temos que

Como a velocidade gerada pelo vento do ventilador tem módulo , então sabemos que a força de arrasto será dada por

Assim temos que

Voltando para a equação do decaimento, chegamos em

Consideramos pequenos ângulos, ainda podemos escrever

A amplitude de oscilação é

Assim, para chegar em

Fazendo dos dois lados, temos

Assim,

Lembre-se que para chegarmos até aqui consideramos que a força de arrasto é muito pequena e que por isso