MHA
Considere um sistema massa-mola, composto por uma mola de constante e uma massa , sujeito a força de amortecimento proporcional à velocidade dada por . O sistema está no regime crítico de amortecimento.
- Determine. Em função de e , o valor da constante
- Sabendo que o sistema parte da posição com velocidade nula, determine a posição do sistema em função do tempo em termos de e
- Se trocarmos a massa do sistema por qual será o regime de oscilação do sistema? Justifique.
- Sabendo que a com a nova massa o sistema parte da posição com velocidade nula, determine a posição do sistema em função do tempo em termos de e
- Se trocarmos agora a massa do sistema por uma massa qual será o novo regime de oscilação do sistema? Justifique.
Passo 1
a):Vamos montar a equação do movimento:
Sendo , e
Então a equação caraterística é:
Pro sistema ser crítico, a equação acima precisa ter . Então:
Show! Agora basta isolar a paradinha:
Obs.: Se liga, às vezes a gente chama .
Passo 2
b):
O regime do sistema é o crítico. Pela nossa teoria, a gente sabe que a solução da EDO do movimento pra um regime crítico é:
Sendo que . Então:
Usando as condições iniciais:
Vamos derivar em relação ao tempo pra encontrarmos a equação da velocidade:
Então:
Pela a observação que fizemos na a): .
Então:
Sendo :
Então:
Passo 3
c):
Vamos calcular e pra esse novo valor de massa:
E :
Como:
Regime supercrítico.
Passo 4
d):
Agora o regime é supercrítico. A solução será:
Sendo:
Onde o beta é dado por:
No beta, usando os valores calculados em c):
Como e :
Agora vamos usar as condições iniciais:
E agora a velocidade inicial (zero):
Po, mas a velocidade inicial é zero, então:
Então temos as duas equações:
Resolvendo o sistema acima:
Ufa! É dose resolver esse sistema, né? Mas agora é só substituir naquela equação do inicio:
Passo 5
e):
Vamos fazer parecido com a c):
Calculando
E
Como
Regime subcrítico.
Resposta
a):
b):
c):
Regime supercrítico.
d):
e):
Regime subcrítico.