UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Oscilações e Ondas, Listas de Ondas - UFMG - Problemas sobre Oscilador Harmônico, Questão 10
Mostre que para um oscilador harmônico amortecido, sob a ação de uma força do tipo , oscilações ocorrerão somente quando for satisfeita a condição .
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
Temos aqui o caso clássico de um oscilador harmônico amortecido, ou seja, temos uma força restauradora da forma
e, temos uma força resistiva proporcional a velocidade da forma
precisamos verificar que as condições para a oscilação são tais que
Para isso, vamos analisar a equação diferencial que é obtida ao analisarmos a segunda lei de Newton
As soluções desta equação diferencial irão indicar vínculos sobre para que o movimento seja oscilatório! Saca só!
Passo 2
A força resultante é dada por
de forma que a segunda lei de Newton resulta em
usando que
e
a equação diferencial que devemos resolver é a seguinte equação diferencial de segunda ordem
em que dividi toda a equação por . Vamos procurar as possíveis soluções!
Passo 3
Escrevendo o polinômio característico da equação diferencial temos que
usando Bhaskara, as raízes são da forma
note que existem três possibilidades de soluções tendo em vista o resultado da operação
Quando , temos raízes repetidas e portanto
de forma que
podemos então considerar três intervalos, o intervalo
, e
Vamos verificar qual deles nos dá um movimento oscilatório!
Passo 4
Para o intervalo
temos que as raízes são repetidas, e portanto, a solução de nossa equação diferencial homogênea de segunda ordem é
que é uma solução que cresce linearmente no início e rapidamente decai exponencialmente (nenhum oscilação). Quando temos que
temos raízes reais distintas e temos que
que é um crescimento exponencial seguido de um decaimento exponencial, novamente, não temos oscilações! Por último, temos o intervalo
que resulta em raízes complexas-conjugadas, portanto, temos que a solução é dada por
que é um movimento oscilatório que decai lentamente através de um invólucro dado pela exponencial! Ou seja, oscilações ocorrem apenas para
como queríamos demonstrar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!