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Exercícios Resolvidos de Introdução a Ondas

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Enunciado

Física Termodinâmica e Ondas – Young e Freedman – 12 edição – Capítulo 13 – Exercício 9.

(Cap 15 - Ex 9) Quais das seguintes funções satisfazem a função de onda dada pela Equação (15.2)? a) y x , t = A c o s   ( k x + ω t ) ; b) y x , t = A   s e n   ( k x + ω t ) ; c) y x , t = A ( cos ⁡ x t + cos ⁡ ω t ) ; d) Para a onda do item (b), escreva a equação para a velocidade transversal e a aceleração transversal de uma partícula no ponto x.

Passo 1

E aí galera show de bola, nesse exercício nós vamos avaliar as derivadas parciais e verificar se a equação

∂ 2 y   ( x , t ) / ∂ t 2 ∂ 2 y ( x , t ) / ∂ x 2 = ω 2 k 2 = v 2

é satisfeita onda.

Passo 2

Note algumas derivadas parciais:

∂ ∂ x cos ⁡ k x + ω t = - k s e n ( k x + ω t )

∂ ∂ t cos ⁡ k x + ω t = - ω s e n   k x + ω t

∂ ∂ x s e n   k x + ω t = k cos ⁡ ( k x + ω t )

∂ ∂ t s e n   k x + ω t = ω s e n   ( k x + ω t )

Passo 3

  1. Assim,

    2. ∂ 2 y ∂ x 2 = - A k 2 cos ⁡ k x + ω t

    E

    ∂ 2 y ∂ t 2 = - A ω 2

    A equação ∂ 2 y   ( x , t ) / ∂ t 2 ∂ 2 y ( x , t ) / ∂ x 2 = ω 2 k 2 = v 2

    É satisfeita se v = ω k .

    Passo 4

  2. E

    3. ∂ 2 y ∂ x 2 = - A k 2 s e n   ( k x + ω t )

    ∂ 2 y ∂ t 2 = - A ω 2 s e n   ( k x + ω t )

    A equação ∂ 2 y   ( x , t ) / ∂ t 2 ∂ 2 y ( x , t ) / ∂ x 2 = ω 2 k 2 = v 2

    É satisfeita se v = ω k .

    Passo 5

  3. E

    4. ∂ y ∂ x = - k A   s e n ( k x )

    ∂ 2 y ∂ x 2 = - k 2 A c o s   ( k x )

    ∂ y ∂ t = - ω   s e n   ( ω t )

    ∂ 2 y ∂ t 2 = - ω 2 A cos ⁡ ( ω t )

    Logo, a equação

    ∂ 2 y   ( x , t ) / ∂ t 2 ∂ 2 y ( x , t ) / ∂ x 2 = ω 2 k 2 = v 2

    Não é satisfeita.

    Passo 6

  4. Para calcularmos a velocidade, calculamos a derivada:

v y = ∂ y ∂ t = ω A c o s   ( k x + ω t )

E para calcularmos a aceleração, derivamos novamente:

a y = ∂ 2 y ∂ t 2 = - A ω 2   s e n   ( k x + ω t )

As funções c o s   ( k x   +   ω t ) e s i n   ( k x   +   ω t ) diferem apenas na fase.

Resposta

  1. Satisfaz
  2. Satisfaz
  3. Não satisfaz
  4. v y = ω A c o s   ( k x + ω t ) e a y = - A ω 2   s e n   ( k x + ω t )

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