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Exercícios Resolvidos de Introdução a Ondas

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Enunciado

A figura abaixo mostra a velocidade transversal u em função do tempo t para o ponto de uma corda situado em x = 0 , quando uma onda passa por ele. A escala do eixo vertical é definida por u s = 4,0   m / s . A onda tem a forma y x , t = A s e n k x - ω t + φ . Qual é o valor de φ ?

Passo 1

Sendo y x , t = A s e n k x - ω t + φ

Podemos dizer que

∂ y x , t ∂ t = - ω A c o s k x - ω t + φ

Como para o gráfico mostrado, x = 0 , então:

∂ y 0 , t ∂ t = - ω A c o s - ω t + φ

u = - ω A c o s - ω t + φ

Passo 2

Analisando a equação, vemos que:

ω A = u m á x

Pois:

- 1 ≤ c o s - ω t + φ ≤ 1

No gráfico, u m á x = 5 m / s

Passo 3

Pelo gráfico, podemos ver também que quando t = 0 , u = - 4 m / s .

Logo:

- 4 = - 5 c o s + φ

φ = cos - 1 ⁡ 4 5

φ = - 0,64   r a d ou 0,64   r a d

Passo 4

Para descobrirmos qual é o valor certo vamos derivar a função do gráfico u = - ω A c o s - ω t + φ

∂ u ∂ t = - ω ² A s e n ( - ω t + φ )

Pelo gráfico, vemos que no ponto t = 0 , a função é crescente. Então, a derivada é maior que zero.

- ω 2 A s e n φ > 0

Logo,

s e n φ < 0

Se o seno é menor que zero, o ângulo é do terceiro ou quarto quadrante. Logo:

φ = - 0,64   r a d

É importante lembrar que quando acrescentamos n 2 π , sendo n qualquer número inteiro, o ângulo também é válido como resposta.

Resposta

φ = - 0,64   r a d

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