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Exercícios Resolvidos de Introdução a Ondas

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Enunciado

PF – Física 4 – UFRJ – 2022.2 – Questão 8

Uma partícula é posicionada dentro de caixa unidimensional de largura a - a 2 < x < a 2 em um estado não estacionário descrito por ψ x = η x - a 2 (para x ≤ a 2 ) . Determine o valor da constante de normalização η da função de onda.

a) 12 a 3  

b) a 3 12

c) 2 a

d) a 2

Passo 1

Bom, vamos lá....

A probabilidade de encontrar a partícula no interior da caixa deve ser de 100 % , portanto teremos:

P = ∫ - a 2 a 2 ψ 2 d x = 1

P = ∫ - a 2 a 2 η x - a 2 2 d x = 1

Só que precisamos tomar cuidado com o módulo no interior dessa função...

O módulo vai funcionar da seguinte forma:

x > 0 → x = x

x < 0 → x = - x

Dessa forma, devemos abrir a integral em duas, pois para x negativo, teremos x = - x e para x positivo, teremos x = x

∫ - a 2 0 η - x - a 2 2 d x + ∫ 0 a / 2 η x - a 2 2 d x = 1

∫ - a 2 0 - η x - η a 2 2 d x + ∫ 0 a / 2 η x - η a 2 2 d x = 1

Passo 2

Bom, vamos agora elevar a nossa função de onda ao quadrado:

∫ - a 2 0 η 2 x 2 + 2 η 2 x a 2 + η 2 a 2 4     d x + ∫ 0 a / 2 η 2 x 2 - 2 η 2 x a 2 + η 2 a 2 4 d x = 1

Resolvendo, teremos:

η 2 x 3 3 + η 2 x 2 a 2 + η 2 a 2 x 4 0 - a / 2 + η 2 x 3 3 - η 2 x 2 a 2 + η 2 a 2 x 4 a / 2 0 = 1

Substituindo os limites de integração, chegamos em:

- η 2 3 - a 2 3 - η 2 - a 2 2 a 2 - �� 2 a 2 - a 2 4 + η 2 a 2 3 3 - η 2 a 2 2 a 2 + η 2 a 2 a 2 4 = 1

- η 2 3 - a 3 8 - η 2 a 2 4 a 2 - η 2 a 2 - a 2 4 + η 2 a 3 8 3 - η 2 a 2 4 a 2 + η 2 a 3 2 4 = 1

η 2 a 3 24 - η 2 a 3 8 + η 2 a 3 8 + η 2 a 3 24 - η 2 a 3 8 + η 2 a 3 8 = 1

Repare que vai cortar alguns termos, e ficaremos apenas com:

η 2 a 3 24 + η 2 a 3 24 = 1

2 η 2 a 3 24 = 1

η 2 a 3 12 = 1

η = 12 a 3

Portanto, a resposta correta é a letra a!

Resposta

Letra a)

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