UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Marcos André - 1ª Lista de Exercícios, Questão 2a
Uma caixa retangular tem volume de metros cúbicos. O material usado no lado custa o metro quadrado, na parte inferior custa e na parte superior custa o metro quadrado. Ache:
A função que representa o custo total da caixa
Passo 1
E aí gente bonita, tudo bom com vocês?
Nessa questão temos um problema de custo para construir uma caixa retangular.
A caixa retangular nada mais é do que um paralelepípedo, assim ela é formada por parâmetros: largura , comprimento e altura .
Mas, foi falado que o volume total da caixa é de , isso nos permite colocar um desses três parâmetros em função dos outros dois.
O enunciado nos pede para determinar uma função que represente o custo total da caixa sabendo que:
- O material da parte superior custa ;
- O material da parte inferior custa ;
- O material no lado da caixa custa ;
Beleza?
Então vamo lá, tentaremos determinar o custo em função dos parâmetros dados para a parte superior, inferior e para o lado da caixa retangular. NO final, basta somar todos esses custos para o obter o custo da caixa retangular.
Passo 2
Bom, primeiramente vamos escolher os parâmetros da nossa função. Vimos que a caixa é definida por e .
Como trata-se de um paralelepípedo, o volume dessa caixa vale:
Massa! Então, montaremos o nosso problema em função da largura e do comprimento .
Para a parte superior, temos que a área vale:
Como o custo é de , o custo total da parte superior vale:
Para a parte inferior, também temos a mesma área da parte superior, ou seja:
Daí, o custo vale:
Por fim, temos o material lateral da caixa retangular. Como temos um paralelepípedo, ele é composto por faces retangulares. Duas dessas faces têm como área:
E outras duas têm como área:
Usando que , temos:
E:
Daí, a área total lateral vale:
Pra calcular o custo da parte lateral, temos:
Excelente!
Passo 3
Agora que já temos os custos das três partes (lateral, superior e inferior), podemos montar a função que representa o custo total:
Ou seja:
Excelente pessoal! Conseguimos montar a função custo!
Sacaram a ideia? Responde Aí!