Determine a imagem de nos seguintes casos:
a)
b)
c)
d)
Passo 1
É bom adquirir o reflexo de achar o domínio da função antes de partir pra imagem. Então vou fazer isso sempre, beleza?
a)
Primeiro podemos notar que não há nenhuma restrição na função, portanto seu domínio é todo o . Enfim, temos:
Portanto, a imagem de é o conjunto . Tranquilo né? Vamos pra próxima!
Passo 2
b)
Nessa função tem uma restrição, por causa do logaritmo:
Mas bom, isso não vai afetar a nossa imagem. Isso porque o logaritmo, ao contrário da exponencial, pode assumir valores negativos, positivos, todos os valores do !
Assim,
Ou seja, a imagem de é todo o !
Passo 3
c)
Mano, essa não tem muito mistério. É só uma função polinomial meio aleatória e sem nenhuma restrição (seu domínio é todo o ).
Nesse caso, não tem muito como justificar, mas intuitivamente podemos dizer que essa função pode assumir qualquer valor, e que, portanto, sua imagem é todo o .
Passo 4
d)
Opa, essa aqui já é mais interessante!
A única restrição nessa função é a raiz quadrada, então temos:
Então o domínio da função é o conjunto dos do que respeitem essa condição.
Passo 5
Agora repare que:
Uma vez que a função exponencial é sempre crescente, podemos aplicar essa função dos dois lados da inequação:
Por isso que é importante saber o domínio da função!! O valor máximo que esse termo pode assumir é 1, por causa da restrição da raiz quadrada.
Raiz quadrada, que é, aliás, positiva:
Então temos
Assim, a imagem de é o conjunto .
Resposta
a)
b)
c)
d)