UFAM– Cálculo 2 – P1 – Questão 2
Mostre que a função é diferenciável
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar aqui! Temos uma função de duas variáveis
E pergunta se é diferenciável!
Bom, para identificar se é ou não, precisamos lembrar dos teoremas que nos dizem se uma função é diferenciável ou não:
Nesses teoremas se fala na diferenciabilidade em um ponto específico, mas isso o problema não nos deu! Ele perguntou se é diferenciável e isso significa dizer se é em todo espaço , ou seja, para qualquer valor de ou de ! Mas como fazer isso?
Achando as derivadas parciais! Se as derivadas parciais existirem e forem contínuas em todo plano, então a função será diferenciável!
Sem falar que a função em si não apresenta nenhuma descontinuidade (divisão por zero em algum ponto, raiz de índice par de número negativo em algum ponto...). Temos um polinômio de grau 1, super bem-comportado! Então sabemos que o domínio são todos os reais! Agora vamos partir para as derivadas!
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos começar achando a parcial da função:
Opa! Encontramos uma constante! Isso significa que a função é contínua, diferenciável, e a parcial existe! E isso tudo acontece para todo plano !
Por enquanto temos que é diferenciável! Precisamos testar para a parcial em !
Passo 3
Agora vamos derivar em relação a :
Encontramos outra função contínua em todo plano! Isso significa que a função é diferenciável sim! Bem como o problema pediu!
E é isso! Espero ter ajudado!
Resposta
demonstração