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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

UFRJ, Lista 18 – AVA, Exercício 6

Alguém me garantiu que a integral abaixo é verdadeira. Por quê?

∫ - π π cos 5 ⁡ x s e n 4 x cos 3 ⁡ x s e n 2 x cos ⁡ x s e n x 1 + x 2 d x = 0

Passo 1

MEU DEUSSSS! A gente olha pra essa integral e já fica desesperado, né? Porém existe uma malandragem aí nessa questão.

Um teorema nos diz que, dada uma função ímpar f ( x ) , a sua integral em um dado intervalo contínuo é igual a zero.

E o que é uma função ímpar?

Ela precisa respeitar a seguinte igualdade:

f - x = - f ( x )

Passo 2

Se chamarmos

f x = cos 5 ⁡ x s e n 4 x cos 3 ⁡ x s e n 2 x cos ⁡ x s e n x 1 + x 2

Podemos verificar que:

cos 5 ⁡ - x s e n 4 - x cos 3 ⁡ - x s e n 2 - x cos ⁡ - x s e n - x 1 + - x 2 = - f x

Logo, essa função é impar, e, portanto, por conta do teorema, temos que:

∫ - a a f x = 0 ,   q u a n d o   f x   é   u m a   f u n ç ã o   í m p a r

Logo,

∫ - π π cos 5 ⁡ x s e n 4 x cos 3 ⁡ x s e n 2 x cos ⁡ x s e n x 1 + x 2 d x = 0

Resposta

𝐷emonstração

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