Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule as integrais definidas abaixo

i )   ∫ 0 1 4 1 + x 2 d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema pediu para calcularmos essa integral aqui

∫ 0 1 4 1 + x 2 d x

A ideia aqui é encontrar das fórmulas de primitivas que mais se adequa ao que temos!

Anota aí as principais primitivas:

E depois? Depois de integrar, precisamos aplicar nos limites de integração! E é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa integral indefinida é

∫ 4 1 + x 2 d x = 4 ∫ 1 1 + x 2 d x

Olhando com mais carinho a nossa tabela de primitivas, vemos que podemos usar a integral trigonométrica que dá o arco tangente:

∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ ( x )

A menos de uma multiplicação por 4!

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora vamos aplicar nos limites de integração! Relembrando que nossa integral era definida e assim:

∫ 0 1 4 1 + x 2 d x

E no passo anterior calculamos a indefinida

4 ∫ 1 1 + x 2 d x = 4 arctan ⁡ ( x )

Agora é só usar esse resultado e aplicar nos limites:

∫ 0 1 4 1 + x 2 d x =   4 arctan ⁡ ( x ) 0 1 = 4 arctan ⁡ ( 1 ) - [ 4 arctan ⁡ ( 0 ) ]

= 4 π 4 - 4 ( 0 ) = π

Aí nossa integral é

∫ 0 1 4 1 + x 2 d x = π

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

π

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