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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule as integrais

∫ 0 2 x 2 - 1   d x

Passo 1

Eita, integral com módulo? E agora???? Calma fera, pra gente tirar esse cara de letra vamos lembrar de uma propriedade importantíssima dos módulos:

f x = f x ,     s e   f x ≥ 0 - f x ,     s e   f x < 0

Sendo f x = x 2 - 1 :

x 2 - 1 = x 2 - 1 ,     s e     x 2 - 1 ≥ 0 - x 2 + 1 ,     s e   x 2 - 1 < 0

x 2 - 1 = x 2 - 1 ,     s e     x 2 ≥ 1 - x 2 + 1 ,     s e   x 2 < 1

O que é o mesmo que:

x 2 - 1 = x 2 - 1 ,     s e     x ≤ - 1   e   x ≥ 1 - x 2 + 1 ,     s e   - 1 < x < 1

Passo 2

Tá, beleza, mas como isso ajuda. Veja bem, se dividirmos a integral em duas:

∫ 0 2 x 2 - 1   d x = ∫ 0 1 x 2 - 1   d x + ∫ 1 2 x 2 - 1   d x

A gente acaba ficando com a primeira integral válida pro intervalo - 1 < x < 1 e o segundo pro intervalo x ≥ 1 e pra cada um desses x 2 - 1 tem uma cara diferente! Ufa, nos livramos do módulo então! Ficaremos com:

∫ 0 2 x 2 - 1   d x = ∫ 0 1 - x 2 + 1   d x + ∫ 1 2 x 2 - 1   d x

E integrando:

∫ 0 2 x 2 - 1   d x = - x 3 3 + x x = 0 x = 1   d x + x 3 3 - x x = 1 x = 2

∫ 0 2 x 2 - 1   d x = - 1 3 3 + 1 - - 0 3 3 + 0 + 2 3 3 - 2 - 1 3 3 - 1

∫ 0 2 x 2 - 1   d x = - 1 3 + 1 + 8 3 - 2 - 1 3 + 1

E por fim:

∫ 0 2 x 2 - 1   d x = - 1 3 + 8 3 - 1 3 = 6 3 = 2

Resposta

∫ 0 2 x 2 - 1   d x = 2

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