Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Considere f : R → R contínua e a seguinte proposição:

∫ - x x f t d t ≥ 0

Para todo x ≥ 0 então:

f x ≥ 0

  1. Dê uma exemplo para a proposição.
  2. Decida se a proposição é falsa ou verdadeira.

Passo 1

Um exemplo seria a função quadrática: f t = t 2

Temos:

I = ∫ - x x t 2 d t

I = 1 3 x 3 - - x 3

I = 2 3 x 3

Como temos que x ≥ 0 , então temos que:

2 3 x 3 ≥ 0

Passo 2

-

Podemos verificar que a afirmação é falsa caso a função não demonstre nenhuma espécie de simetria e que a parte negativa da função seja menor que a parte positiva.

∫ - x x f t d t = F x - F - x ≥ 0

Ou seja, o único critério que precisamos para garantir que a integral seja positiva é a desigualdade acima. O que não implica necessariamente que f x seja positiva. Um contra exemplo seria a função:

f t = e t - 1

Pegando um intervalo [ - 1,1 ] . Sabemos que ela definitivamente não é positiva em todo o intervalo, pois:

f - 1 = 1 e - 1 < 0

Entretanto sua integral neste intervalo dá positiva, como podemos verificar:

I = ∫ - 1 1 ( e t - 1 ) d t = e t - t - 1 1

I = e - 1 - e - 1 - - 1

I = e - 1 - e - 1 + 1

Sabendo que e ≈ 2.7 , temos:

I = e - 1 e - 2 ≈ 0.35

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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