Considere contínua e a seguinte proposição:
Para todo então:
- Dê uma exemplo para a proposição.
- Decida se a proposição é falsa ou verdadeira.
Passo 1
Um exemplo seria a função quadrática:
Temos:
Como temos que , então temos que:
Passo 2
-
Podemos verificar que a afirmação é falsa caso a função não demonstre nenhuma espécie de simetria e que a parte negativa da função seja menor que a parte positiva.
Ou seja, o único critério que precisamos para garantir que a integral seja positiva é a desigualdade acima. O que não implica necessariamente que seja positiva. Um contra exemplo seria a função:
Pegando um intervalo . Sabemos que ela definitivamente não é positiva em todo o intervalo, pois:
Entretanto sua integral neste intervalo dá positiva, como podemos verificar:
Sabendo que , temos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)