Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule a integral.

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos a integral definida. Ou seja, o resultado deve ser um número! Já sabemos que temos que encontrar a primitiva dessa função e depois aplicar os limites de integração. Show, então vamos lá.

A primeira coisa a notar é que essa integral é uma soma de duas funções, então podemos reescrever para:

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   ∫ 0 1 e x d x + ∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x

Então vamos fazer uma coisa de cada vez pra não nos embolarmos, primeiro uma integral, depois a outra. Vamo que vamo:

Passo 2

Na primeira integral, resolvemos diretamente se lembrarmos da regrinha

∫ e x d x = e x + C

Essa é a famosa função que é igual à sua integral e a sua derivada

Nesse caso, como a integral é definida, nem esquenta a cabeça com + C , ok? A primitiva dessa função vai ser só ela mesma:

∫ e x d x = e x = F x

E como a integral é definida:

∫ 0 1 e x d x = F 1 - F 0

∫ 0 1 e x d x = e 1 - e 0 =   e - 1

Passo 3

A segunda integral também tiramos de letra se lembrarmos da regrinha:

∫ 1 x 2 + 1 d x = arctan ⁡ x + C

Como a integral é definida:

∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x = F 1 - F 0

∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x = arctan ⁡ 1 - arctan ⁡ 0 = π 4 - 0 = π 4

Passo 4

Pra fechar com chave de ouro, só juntar os resultados todos, achamos que:

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   ∫ 0 1 e x d x + ∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x

E que:

∫ 0 1 e x d x =   e - 1

∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x = π 4

Então a integral definida tem o valor:

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   e - 1 + π 4

Resposta

∫ 0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   e - 1 + π 4

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