UFSC – Cálculo 1 – P3 – Questão 4
Estude a convergência de:
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Vamos resolver essa questão juntos?
Letra (a): precisamos avaliar a convergência dessa coisa aqui:
a primeira coisa a se fazer em uma questão assim é trocar o infinito ali por uma constante, digamos por um , e fazer a integral normalmente. Vou te mostrar, saca só:
Ficou mais simpático né? Bom, o integrando é uma coisa do tipo .
Isso mesmo! Esse denominador pode vir para o numerador se trocarmos o sinal da potência do x, assim ó:
Sacou?
Aqui é uma integração de potência, e uma potência qualquer integramos assim:
Aqui o e , então é só aplicar na regra:
E agora aplicar os limites:
Tranquilo?
Passo 2
Agora precisamos fazer com que e avaliar esse limite:
Quando assume um valor muito, mas muito grande, o termo fica beeeeem pequenininho, quase zero. O termo dentro dos parênteses não é afetado pelo valor de , pois é independente dele. Então esse limite converge para .
Portanto essa integral é convergente. Belezinha?
Passo 3
Agora vamos avaliar o segundo item.
Letra (b):
Aqui o problema é o zero! Vamos substituir esse zero por (só pra ser diferentão kkk) e calcular a integral:
Tirando os limites de integração, essa integral é igual à outra, então só copiei o resultado e apliquei nos novos limites.
Passo 4
Agora vamos avaliar esse resultado para quando , assim o limite fica:
À medida que vai ficando cada vez menorzinho, a divisão de 1 por um número muito pequeno é um número bem grandão. Digamos que , a razão é:
Então cada vez que se aproximar mais de , essa razão vai assumir valores cada vez maiores! E mesmo que a gente diminua 1 (que é o caso do nosso limite), o valor vai continuar sendo beeeem alto!
Assim esse limite tende a infinito:
Então dizemos que essa integral é divergente.
Resposta
- Convergente
- Divergente