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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

2. Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral.

e) ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos conversar um pouco sobre integrais definidas simples. Para a integral indefinida de uma função, temos que achar g ( x ) tal que:

∫ f ( x ) d x = g ( x )

g ( x ) ’ = f ( x )

De forma que, segundo o TFC para integrais definidas:

∫ a b f ( x ) d x = g b - g ( a )

Passo 2

Agora vamos encontrar a primitiva pra função dada

∫ sec 2 ⁡ θ d θ

Achar a primitiva dessa função usando as técnicas convencionais, pode ser um pouco trabalhoso, entretanto, nesse caso, temos uma função conhecida, cuja primitiva também é conhecida. Logo,

∫ sec 2 ⁡ θ d θ = t g θ

De fato, se derivamos a função tangente, temos

t g θ ' = s e n θ c o s θ ' = c o s θ ∙ c o s θ - s e n θ ∙ ( - s e n θ ) cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ = 1 cos 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

Agora que temos a nossa primitiva, vamos aplica-la nos limites de integração,

t g θ 0 π 4 = t g π 4 - t g 0 = 1 - 0 = 1

E é isso, por hoje pessoal.

Resposta

e) 1

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