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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Seja f ( x ) a função definida por partes

f x = x 2   ,     - π   ≤   x   <   0 s e n x       ,       0   ≤   x   ≤   π  

Calcule ∫ - π   π f ( x ) d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos conversar um pouco sobre integrais definidas simples.

Lembremos que, se temos a ≤ b ≤ c , as integrais a gente acha por:

∫ a c f ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x

Logo, para a nossa questão, podemos fazer:

∫ - π   π f ( x ) d x = ∫ - π   0 f ( x ) d x + ∫ 0   π f ( x ) d x

Passo 2

Show! Montamos o esqueleto das nossas integrais. Agora vamos achar as nossas funções. Sabemos como f x se comporta nesses intervalos. Ele é dado por:

f x = x 2   ,     - π   ≤   x   <   0 s e n x       ,       0   ≤   x   ≤   π  

Agora ficou mais simples de entender, vamos colocar as funções referentes a cada intervalo.

∫ - π   0 f ( x ) d x + ∫ 0   π f ( x ) d x = ∫ - π   0 x ² d x + ∫ 0   π s e n ( x ) d x

Passo 3

Agora só precisamos resolver a integral:

∫ - π   0 x 2 d x + ∫ 0   π s e n x d x = x 3 3 - π 0 - c o s ⁡ ( x ) 0 π

= 0 3 3 - - π 3 3 + - c o s c o s   π   - - c o s c o s   0  

= 0 + π 3 3 + [ 0 + 1 ]

= π ³ 3 + 1

E é isso pessoal 😉

Resposta

∫ - π   π f ( x ) d x = π ³ 3 + 1

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