UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios 12 – Questão 2a
Se é uma função contínua e não negativa em , então a integral é exatamente a área da região do gráfico de e acima do eixo . Utilizando o gráfico da função, calcule cada uma das integrais abaixo
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!
O problema nos pediu para calcular essa integral aqui
Mas utilizando o gráfico! Mas como assim?
Isso mesmo! Integrar uma função em um intervalo fechado, digamos , é equivalente encontrar a área que essa função faz com o eixo horizontal dentro desse intervalo!
Então a ideia aqui é esboçar essa função, que no nosso caso é
Entre o intervalo
E usar as fórmulas de áreas que conhecemos!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa função é
A função módular é definida por partes: ambas partes são retas, mas para valores negativos de é uma reta decrescente e para , crescente
Então um esboço para a função módulo de até está aqui:
Vemos que entre a função verde e o eixo horizontal, temos dois triângulos! No próximo passo vamos calcular essa área!
Bora lá?
Passo 3
Aí a área é:
Beleza? Agora a área mais à direita:
Esse triângulo tem base e altura também :
Tudo bem até aqui? Agora para achar a integral basta somar as duas áreas:
E é isso! Calculamos a integral sem ter usado técnica! Lembrar que a integral é também uma área pode facilitar (e muito) nossa vida!
Espero ter ajudado! Até a próxima!