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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule as integrais:

  ∫ 0 4 x + 2 5 x   d x

Passo 1

Bom, basicamente, queremos resolver uma integral definida.

Já sabemos, pelo teorema da variação total que, nesse caso, temos que achar a primitiva da função e depois calcular a diferença entre F 4 e F ( 0 ) , lembra?

Passo 2

E como eu calculo a primitiva dessa função?

Bom, lembra que por enquanto você só sabe resolver integrais imediatas. E agora que você já treinou achar as primitivas, você deve ter sacado que eu posso usar uma propriedade distributiva marota ali e cair em uma integral de polinômios, que eu sei resolver de boa, né não?

É só lembrar que 5 x é o mesmo que 5 x   e que x = x 1 2 .

Aí é só correr pro abraço:

∫ 0 4 x + 2 5 x   d x = ∫ 0 4 x + 2 5 x   d x = ∫ 0 4 x + 2 5   x 1 2 .   d x

Lembrando que 5 é uma constante e pode sair da integral:

5 ∫ 0 4 x + 2   x 1 2 .   d x = 5 ∫ 0 4 x 3 2 + 2 x 1 2   d x

Passo 3

A primitiva dessa função nós já sabemos encontrar:

= 5   x 3 2 + 1 3 2 + 1 + 2 x 1 2 + 1 1 2 + 1 0 4  

= 5   x 5 2 5 2 + 2 x 3 2 3 2 0 4

= 5 2 x 5 2 5 + 4 x 3 2 3 0 4

= 5   2   4 5 2 5 + 4 4 3 2 3 - 2 0 5 + 4 0 3

= 5 2 2 2 5 2 5 + 4 2 2 3 2 ) 3

= 5 2 2 5 5 + 4 2 3 ) 3

= 5 2 32 5 + 4   8 3

= 5 64 5 + 32 3 = 5 64.3 15 + 32.5 15 = 5 64.3 15 + 32.5 15

= 5 192 15 + 160 15

= 352 15 5

Resposta

∫ 0 4 x + 2 5 x   d x = 352 15 5

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