UFRJ – Cálculo 1 – 2020.2 – P3 – M.Escolha
Selecione qual dos pontos abaixo pertence à reta tangente ao gráfico de no ponto , onde
Passo 1
Vamos juntos bater de frente com essa questão!
Temos que encontrar o ponto que pertence a reta tangente de que passa pelo ponto que o enunciado nos deu.
Para isso precisamos montar a equação dessa reta tangente, ela vai ter de forma geral o seguinte formato:
Então se a gente conseguir achar e , podemos colocar , já que todas as alternativas tem isso e ver o que obtemos para .
O parâmetro é coeficiente angular e ele é igual a derivada da função no ponto onde a reta tangência, então temos que ir atrás de e para isso não precisamos resolver a integral.
Como queremos a derivada de podemos usar o teorema fundamental do cálculo onde temos que:
Com isso encontramos e depois é só substituir o ponto que nos interessa.
E agora para achar o parâmetro ? Podemos usar o ponto que o enunciado nos deu já que ele pertence a reta, como teremos o valor de e basta isolarmos o que a gente encontra ele.
Vamos as contas!
Passo 2
Primeiro vamos encontrar , temos o seguinte:
Usando o teorema fundamental do cálculo temos:
Usando as propriedades de , temos:
Então temos que:
Passo 3
Agora vamos encontrar que é igual a , assim:
Temos então:
Então temos que:
Passo 4
Agora temos que encontrar , vamos usar o ponto que pertence a reta tangente, assim a equação da reta tangente fica da seguinte forma:
Então temos que:
Então a equação da reta tem essa cara aqui:
Passo 5
Agora vamos avaliar essa equação para , com isso temos:
Então o ponto que pertence a reta é:
Olhando as alternativas que o enunciado tem, a única certa é a letra .