Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Seja f uma função contínua no intervalo [ 1 ,   8 ] , tal que

      ∫ 1 8 f x d x = 6

Calcule a integral ∫ 1 2 x ² f x ³ d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos calcular a integral definida de uma função, só que de uma forma atípica, mais malandra eu diria.

∫ 1 2 x ² f x ³ d x

Antes de tudo, permitam-me fazer uma mudança que não vai nos prejudicar; muito pelo contrário, ela vai nos ajudar:

∫ 1 2 u ² f u ³ d u

Agora, e se eu fizesse a seguinte substituição:

u 3 = x

3 u 2 d u = d x

d u = 1 3 u 2 d x

∫ 1 2 u ² f u ³ d u = ∫ ? ? u ² f x 1 3 u 2 d x

= 1 3 ∫ ? ? f x d x

Passo 2

Ok, as coisas tão começando a tomar forma, nosso plano maligno parece estar operando perfeitamente hehe. Piadas à parte, agora vamos estudar esses intervalos de integração:

i- Intervalo inferior ( u = 1 ) :

u 3 = x

1 3 = x

1 = x

ii- Intervalo superior ( u = 2 ):

u 3 = x

2 ³ = x

8 = x

Hmmmmn, agora ficou izi família:

1 3 ∫ ? ? f x d x = 1 3 ∫ 1 8 f x d x

Se a gente lembrar, lá no início da questão é dito que ∫ 1 8 f x d x = 6 , agora é só correr pro abraço que o gol já tá feito.

1 3 ∫ 1 8 f x d x = 1 3 6

= 2

Receba, questão encerrada pessoal 😉

Resposta

2

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