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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Integrais indefinidas, o TVT e Regra de substituição - UFRJ

Avalie a integral definida.

d.       ∫ 0 a x a 2 - x ² d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos calcular a integral definida de uma função.

∫ 0 a x a 2 - x ² d x

Tô sentindo que essa vai ser izi galera, vamo pra cima!

Podemos dizer o seguinte:

a 2 - x ² = u

( - 2 x ) d x = d u

d x = - 1 2 x d u

Passo 2

Pessoal, discutimos anteriormente sobre como lidar com intervalos de integração em situações que aplicamos substituição na integral. De agora em diante, vou sempre integrar a substituição, retornar à variável original e assim aplicar os intervalos que já conhecemos, ou seja, o jeito 1 que vimos na letra “a” de questão.

∫ 0 1 x a 2 - x ² d x = - ∫ ? ? x u 1 2 x d u

- ∫ ? ? x u 1 2 x d u = - ∫ ? ? u 2 d u

- ∫ ? ? u 2 d u = - 2 3 × 1 2 u 3 ? ?

Belezinha, hora de lembrar que a 2 - x ² = u e, portanto:

- 2 3 × 1 2 u 3 ? ? = - 2 3 × 1 2 ( a 2 - x ² ) ³ 0 a

- 2 3 × 1 2 a 2 - a 2 3 - 2 3 × 1 2 a 2 - 0 2 3 = - 0 + 1 3 a 3

1 3 a 3

Receba, questão encerrada pessoal 😉

Resposta

d) 1 3 a 3

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