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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule a integral

∫ 0 3 x 3 - 2 x d x  

Passo 1

Temos aí uma integral definida. O famoso Teorema da variação total nos diz que temos que achar a primitiva da função e depois calcular a diferença entre F 3 e F ( 0 ) , não é mesmo?

Então o nosso problema é achar a primitiva dessa função. Mas isso não é um problema para você, ouvi dizer...

Passo 2

Bom, se você lembrar que x = x 1 2 , você logo vai perceber que, se dividir o numerador pelo denominador, seus problemas acabaram!

Vamos transformar isso tudo em polinômios, lembrando que x = x 1 2

∫ 0 3 x 3 - 2 x d x   = ∫ 0 3 x 3 - 2 x 1 2 d x   = ∫ 0 3 x 3 x 1 2 - 2 x 1 2 d x  

= ∫ 0 3 x 3 - 1 2 - 2 x - 1 2 d x  

= ∫ 0 3 x 5 2 - 2 x - 1 2 d x  

Passo 3

Lembra da integral de polinômio, né? Basta somar 1 ao expoente e dividir por esse novo expoente:

∫ 0 3 x 5 2 - 2 x - 1 2 d x   = x 5 2 + 1 5 2 + 1 - 2 x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1   | 3 0

= x 7 2 7 2 - 2 x 1 2 1 2   | 3 0

= 2   x 7 2 7 - 4 x 1 2 | 3 0

= 2   ( 3 ) 7 2 7 - 4 ( 3 ) 1 2 - 2   ( 0 ) 7 2 7 - 4 ( 0 ) 1 2  

Um detalhe importante é entender que:

3 7 2 = 3 7 = 3 3 3 = 27 3

Então vamos ter:

= 2 .   27 3 7 - 4 3 = 54 3 7 - 28 3 7 = 26 3 7

Resposta

∫ 0 3 x 3 - 2 x d x   = 26 3 7

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