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Exercícios Resolvidos de Teste da integral

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Enunciado

UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 11 – Questão 8

Considere a série

∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n

Escolhe uma ou mais

  1. Calcule o limite lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n =
  2. Calcule a integral ∫ 1 ∞ 1 x d x =
  3. Usando os testes da integral e da comparação, pode-se concluir que a série converge, diverge ou não se conclui nada?

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem com vocês? Bora praticar mais sobre séries?

O problema deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n

E pediu para acharmos o limite quando lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n , depois para calcular essa integral imprópria aqui ∫ 1 ∞ 1 x d x , e por fim para usar os testes da integral e da comparação e concluir sobre a convergência da série dada... mas o que tem a ver uma coisa com a outra?

Porque estamos falando de dois testes: teste da integral e teste da comparação!

Vamos começar relembrando o Teste da Integral:

Sendo assim, vamos usar o teste da integral no termo

∫ 1 ∞ 1 x d x

E verificar que essa integral converge ou diverge! Se ela converge, então a série

∑ n = 1 ∞ 1 x

Também converge! Se a integral diverge, a série também! E é essa série que vamos usar para fazer o teste da comparação! E assim entender o comportamento da série dada!

Em resumo o Teste da Comparação é

Então a ideia é resolver todos os itens e no final determinar se a série dada converge ou não!

Mas fica sussa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a): vamos começar calculando esse limite aqui lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n :

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n = ⏝ ∞ ∞ → L ´ H lim n → ∞ ⁡ n ' ln ⁡ n ' = lim n → ∞ ⁡ 1 1 / n = ∞

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Letra (b): vamos a gora calcular essa integral imprópria ∫ 1 ∞ 1 x d x e o truque aqui é trazer esse infinito para fora, resolver a integral e no final avaliar o limite! Saca só

∫ 1 ∞ 1 x d x = lim c →  ∞ ⁡ ∫ 1 c 1 x d x = lim c →  ∞ ⁡ ln ⁡ c 1 c = lim c →  ∞ ⁡ ln ⁡ c - ln ⁡ 1

E agora por fim avaliar o limite quando c → ∞

∫ 1 ∞ 1 x d x = lim c →  ∞ ⁡ ln ⁡ c = ∞

Olha que legal! Encontramos um valor infinito! Isso significa que a integral diverge!

E em consequência disso a série associada também!

Partiu aplicar o teste da comparação de limites agora?

Passo 4

Letra (c): agora que sabemos que a série

∑ n = 1 ∞ 1 n

Diverge, vamos aplicar o teste da comparação! A série que queremos determinar o comportamento é

∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n

Então

a n = 1 ln ⁡ n

E a série que conhecemos o comportamento é

∑ n = 1 ∞ 1 n

Assim

b n = 1 n

Agora para cada n > 1 temos que

ln ⁡ n < n

Então

1 ln ⁡ n > 1 n

E portanto

∑ n = 1 ∞ 1 n < ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n

E como a série ∑ n = 1 ∞ 1 n é divergente, então a nossa série também será!

Passo 5

Recapitulando

∑ n = 1 ∞ 1 n : d i v e r g e n t e

∑ n = 1 ∞ 1 n < ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n

Então a série

∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n

É divergente!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

a )   ∞

b )   ∞

c )   d i v e r g e n t e

c o n v e r g e n t e

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