(p) Determine se a série converge ou diverge nos seguintes casos
Passo 1
Nesta questão, faremos o teste da integral. Primeiro, vamos provar a que a função correspondente a este termo é decrescente a partir de um certo ponto.
Faremos isso pela derivada:
Para essa derivada já é negativa, então podemos considerar a partir deste ponto.
Passo 2
Vamos calcular a integral imprópria:
Faremos a regra da substituição, adotando e
Resolvendo a integral por partes, você ficará com:
Passo 3
Agora vamos calcular o limite para ver se ele vai pra infinito ou não:
Perceba que a parte que simboliza um número não é importante, então vou tirar ela do limite:
Como encontramos um número, significa que a função converge.
Portanto, a série converge.
Resposta
A série converge.