PUC - Rio; Cálculo 4 (MAT1154); P1 de 2019.2
Questão 2:
Encontre os valores de para os quais as séries abaixo são convergentes.
Passo 1
Ora, essa série a gente pode usar o teste da integral, já que essa integral aqui:
Resolve-se relativamente tranquila!
Mas... Uma pergunta que sempre tem que se fazer antes de aplicar esse teste é se podemos fazer isso.
ORA! Podemos, afinal, as únicas condições são que o termo da série seja positivo e que seja decrescente. Ambas verdadeiras no nosso caso:
Beleza, então, se a gente pode aplicar o teste da integral, o que ele fala? BEM! Ele fala que a série convergirá se e somente se a integral...
Convergir!
Passo 2
Para encontrar essa integral, vamos fazer uma substituição simples...
Trocando também os limites de integração...
Então...
Substituindo-se os limites lembrando que o infinito não é um número, então é bom deixar em forma de limite:
Ora, esse limite é a chave de tudo, pois a integral só será convergente se esse limite for a ! Se ele for a infinito, então a integral diverge, saca? Então vamos calcula-lo:
Esse limite só é se for menor que , então...
Logo, essa é condição para a integral convergir e assim convergir a série que queríamos testar!