Questão 2:

Encontre os valores de p para os quais as séries abaixo são convergentes.

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n p

Passo 1

Ora, essa série a gente pode usar o teste da integral, já que essa integral aqui:

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x p d x

Resolve-se relativamente tranquila!

Mas... Uma pergunta que sempre tem que se fazer antes de aplicar esse teste é se podemos fazer isso.

ORA! Podemos, afinal, as únicas condições são que o termo da série seja positivo e que seja decrescente. Ambas verdadeiras no nosso caso:

1 n ln ⁡ n p > 0     p o i s       n > 0

Beleza, então, se a gente pode aplicar o teste da integral, o que ele fala? BEM! Ele fala que a série convergirá se e somente se a integral...

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x p d x

Convergir!

Passo 2

Para encontrar essa integral, vamos fazer uma substituição simples...

u = ln ⁡ x           →                 d u = 1 x d x

Trocando também os limites de integração...

x = 2               e n t ã o             u = ln ⁡ 2

x → ∞               e n t ã o             u = ln ⁡ ∞ = ∞

Então...

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x p d x = ∫ ln ⁡ 2 ∞ 1 u p d u =

u - p + 1 - p + 1 ln ⁡ 2 ∞ =

Substituindo-se os limites lembrando que o infinito não é um número, então é bom deixar em forma de limite:

lim u → ∞ ⁡ u - p + 1 - p + 1   -     ⁡ ln ⁡ 2 - p + 1 - p + 1

Ora, esse limite é a chave de tudo, pois a integral só será convergente se esse limite for a 0 ! Se ele for a infinito, então a integral diverge, saca? Então vamos calcula-lo:

lim u → ∞ ⁡ u - p + 1 - p + 1 = 1 - p + 1 lim u → ∞ ⁡ u - p + 1 =

Esse limite só é 0 se - p + 1 for menor que 0 , então...

- p + 1 < 0   →

- p < - 1   →

p > 1

Logo, essa é condição para a integral convergir e assim convergir a série que queríamos testar!

Resposta

p > 1

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