Seja a série
Com .
Estude a convergência dessa série para os possíveis valores de .
Passo 1
Vamos usar o teste da integral nessa série.
Sendo
Definimos
Primeiro temos que ver se esse termo geral é decrescente, para , vamos ter esse termo sendo decrescente.
Passo 2
Agora temos que cálculo a integral
Precisamos fazer então
Vamos calcular a integral com intervalo finito
Passo 3
Vamos agora para o limite desse termo geral
Esse limite que envolve o depende dos valores daquele expoente, .
Se , o nosso limite vai para . Ou seja,
Se , o nosso limite com , vai para . Assim,
E a nossa série vai convergir.
Repara que se , não podemos ter esse limite porque não podemos dividir por . Mas
Assim nossa série vai ficar
Que é a série harmônica, logo diverge.
Resposta
Converge para
Diverge para
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