Quais das séries abaixo são condicionalmente convergentes e quais são absolutamente convergentes (justifique sua resposta):

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

Passo 1

Cara, tem um log simples ali. E a gente até consegue integrar esse termo geral. Vamos tentar o teste da integral então. Fazendo n = x , temos que se

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x d x

converge para um valor. Então a nossa série converge absolutamente. Vamos avaliar essa integral então!

Passo 2

Usando a substituição u = ln ⁡ x :

d u d x = 1 x ∴ d u = 1 x d x

∫ 1 x ln ⁡ x d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ u = ln ⁡ ln ⁡ x

Passo 3

Aplicando os limites de integração a gente fica assim:

∫ 2 ∞ 1 x ln ⁡ x d x = lim c → ∞ ⁡ ∫ 2 c 1 x ln ⁡ x d x = lim c → ∞ ⁡ [ ln ⁡ ln ⁡ x |   2 c

= lim c → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x - ln ⁡ | ln ⁡ 2 |    

Como esse termo de ln ⁡ | ln ⁡ x |   tende ao infinito, já que ln ⁡ x com x → ∞ vai tender ao infinito. Temos que essa integral explode para infinito. Isso quer dizer que ela é diverge. E se a integral diverge, nossa série também vai divergir.

Resposta

Divergente

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